2021高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第4节 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及三

-1-第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用[最新考纲]1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(对应学生用书第67页)1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x－φωπ2－φωπ－φω32π－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.由y＝sinx的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图像[常用结论]1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图像平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．-2-一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．()(2)将y＝3sin2x的图像左移π4个单位后所得图像的解析式是y＝3sin2x＋π4.()(3)y＝sinx－π4的图像是由y＝sinx＋π4的图像向右平移π2个单位得到的．()(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改编1．y＝2sin12x－π3的振幅、频率和初相分别为()A．2,4π，π3B．2，14π，π3C．2，14π，－π3D．2,4π，－π3C[由题意知A＝2，f＝1T＝ω2π＝14π，初相为－π3.]2．为了得到函数y＝2sin2x－π3的图像，可以将函数y＝2sin2x的图像()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度A[y＝2sin2x－π3＝2sin2x－π6.]3．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为________．-3-y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14][从图中可以看出，从6～14时的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期所以A＝12×(30－10)＝10，b＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝3π4，所以y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]．]4．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：月份x1234收购价格y(元/斤)6765选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________．y＝6－cosπ2x[设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝2πω，所以ω＝π2，所以y＝sinπ2x＋φ＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sinπ2＋φ＋6，结合表中数据得π2＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－π2，所以y＝sinπ2x－π2＋6＝6－cosπ2x.](对应学生用书第68页)⊙考点1函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及变换(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图像可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．(2)由函数y＝sinx的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图像有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．-4-已知函数y＝2sin2x＋π3.(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图像；(2)[一题多解]说明y＝2sin2x＋π3的图像可由y＝sinx的图像经过怎样的变换而得到．[解](1)描点画出图像，如图所示：(2)法一：把y＝sinx的图像上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y＝sinx＋π3的图像；再把y＝sinx＋π3的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x＋π3的图像；最后把y＝sin2x＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin2x＋π3的图像．法二：将y＝sinx的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图像；再将y＝sin2x的图像向左平移π6个单位长度，得到y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3的图像；再将y＝sin2x＋π3的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin2x＋π3的图像．三角函数图像变换中的三个注意点(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图像，得到的是哪个函数的图像，切不可弄错方向；(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asinx到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝Asinωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是φω个单位．1.要得到函数y＝sin5x－π4的图像，只需将函数y＝cos5x的图像()-5-A．向左平移3π20个单位B．向右平移3π20个单位C．向左平移3π4个单位D．向右平移3π4个单位B[函数y＝cos5x＝sin5x＋π2＝sin5x＋π10，y＝sin5x－π4＝sin5x－π20，设平移φ个单位，则π10＋φ＝－π20，解得φ＝－3π20，故把函数y＝cos5x的图像向右平移3π20个单位，可得函数y＝sin5x－π4的图像．]2．若把函数y＝sinωx－π6的图像向左平移π3个单位长度，所得到的图像与函数y＝cosωx的图像重合，则ω的一个可能取值是()A．2B.32C.23D.12A[y＝sinωx＋ω3π－π6和函数y＝cosωx的图像重合，可得ω3π－π6＝π2＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.∴2是ω的一个可能值．]3．将函数f(x)＝sin4x＋π3的图像向左平移φ(φ＞0)个单位后，得到的图像关于直线x＝π12对称，则φ的最小值为________．524π[把函数f(x)＝sin4x＋π3的图像向左平移φ(φ＞0)个单位后，可得y＝sin4x＋φ＋π3＝sin4x＋4φ＋π3的图像，∵所得图像关于直线x＝π12对称，∴4×π12＋4φ＋π3＝π2＋kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ4－π24(k∈Z)，∵φ＞0，∴φmin＝5π24.]⊙考点2由图像确定y＝Asin(ωx＋φ)的-6-解析式确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，B＝M＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝3π2；“第五点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)＝________.(2)(2019·重庆六校联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图像如图所示，则f－π3＝________.(1)2sin2x－π6(2)－62[(1)由题图可知，A＝2，T＝2π3－－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y＝2sin2x－π6.(2)由函数的图像可得A＝2，14×2πω＝7π12－π3，可得ω＝2，则2×π3＋φ＝π＋-7-2kπ(k∈Z)，又0＜φ＜π2，所以φ＝π3，故f(x)＝2sin2x＋π3，所以f－π3＝－62.]一般情况下，ω的值是唯一确定的，但φ的值是不确定的，如果求出的φ的值不在指定范围内，可以通过加减2πω的整数倍达到目的．在用“零点”求φ时，务必关注三角函数在该点附近的图像变化趋势．1.(2019·开封模拟)如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin2(ωx＋φ)的图像如图所示(图像经过点(1,0))，那么ω的值为()A．1B．2C．3D．4B[因为f(x)＝sin2(ωx＋φ)＝12－12cos2(ωx＋φ)，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π2ω＝πω，由题图知T2＜1，且3T4＞1，即43＜T＜2，又ω为正整数，所以ω的值为2，故选B.]2.(2019·合肥模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，|φ|＜π2的图像如图所示，则下列说法正确的是()A．在区间7π6，13π6上单调递减B．在区间7π12，13π12上单调递增C．在区间7π12，13π12上单调递减D．在区间7π6，13π6上单调递增B[由题意得，A＝2，T＝4×π3－π12＝π，故ω＝2ππ＝2.当x＝π12时取得最大值2，-8-所以2＝2sin2×π12＋φ，且|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以函数的解析式为f(x)＝2sin2x＋π3.当x∈7π12，13π12时，2x＋π3∈3π2，5π2，又由正弦函数y＝sinx的图像与性质可知，函数y＝sinx在3π2，5π2上单调递增，故函数f(x)在7π12，13π12上单调递增．当x∈7π6，13π6时，2x＋π3∈8π3，14π3，由函数y＝sinx的图像与性质知此区间上不单调，故选B.]3.已知函数f(x)＝sin(πx＋θ)|θ|＜π2的部分图像如图所示，且f(0)＝－12，则图中m的值为________．43[因为f(0)＝sinθ＝－12，且|θ|＜π2，所以θ＝－π6，所以f(x)＝sinπx－π6，所以f(m)＝sinmπ－π6＝－12，所以mπ－π6＝2kπ＋7π6，k∈Z，所以m＝2k＋43，k∈Z.又周期T＝2，所以0＜m＜2，所以m＝43.]⊙考点3三角函数图像与性质的综合应用已知函数f(x)＝3sin2ωx＋π3(ω＞0)的图像与x轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将f(x)的图像向左平移m(m＞0)个单位长度得到函数g(x)的图像恰好经过点－π3，0，求当m取得最小值时，g(x)在－π6，7π12上的单调递增区间．[解](1)函数f(x)的图像与x轴相邻两个交点的距离为π2，得函数f(x)的最小正周期为T＝2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin2x＋π3.(2)将f(x)的图像向左平移m(m＞0)个单位长度得到函数g