（浙江专用）2020高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第1讲 直线与圆教案

-1-第1讲直线与圆直线的方程[核心提炼]1．三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.(2)点到直线的距离：d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(其中点P(x0，y0)，直线方程：Ax＋By＋C＝0)．(3)两平行直线间的距离：d＝|C2－C1|A2＋B2(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．2．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．[典型例题](1)(2019·温州十五校联合体联考)已知直线l1：mx＋(m＋1)y＋2＝0，l2：(m＋1)x＋(m＋4)y－3＝0，则“m＝－2”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·浙江新高考冲刺卷)已知m∈R，若点M(x，y)为直线l1：my＝－x和l2：mx＝y＋m－3的交点，l1和l2分别过定点A和B，则|MA|·|MB|的最大值为________．【解析】(1)当m＝－2时，直线l1，l2的斜率分别为k1＝－2，k2＝12，此时k1×k2＝－1，则l1⊥l2.而m＝－1时，也有l1⊥l2，故选A.(2)动直线l1：my＝－x过定点A(0，0)，动直线l2：mx＝y＋m－3化为m(x－1)－(y－3)＝0，得x＝1，y＝3.过定点B(1，3)．因为此两条直线互相垂直，所以|MA|2＋|BM|2＝|AB|2＝10，所以10≥2|MA|·|MB|，所以|MA|·|BM|≤5，当且仅当|MA|＝|MB|时取等号．【答案】(1)A(2)5-2-解决直线方程问题应注意的问题(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．两点式不能表示垂直于坐标轴的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线及垂直于坐标轴的直线．(3)求直线方程要考虑直线斜率是否存在．[对点训练]1．若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是5，则m＋n＝()A．0B．1C．－2D．－1解析：选C.因为l1，l2平行，所以1×n＝2×(－2)，解得n＝－4，即直线l2：x－2y－3＝0.又l1，l2之间的距离是5，所以|m＋3|1＋4＝5，得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2，故选C.2．(2019·金丽衢十二校高考模拟)直线l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)恒过定点________，P(1，1)到该直线的距离最大值为________．解析：直线l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)即λ(y－3)＋x＋2＝0，令y－3＝0x＋2＝0，解得x＝－2，y＝3.所以直线l恒过定点Q(－2，3)，P(1，1)到该直线的距离最大值为|PQ|＝32＋22＝13.答案：(－2，3)133．在△ABC中，A(1，1)，B(m，m)(1m4)，C(4，2)，则当△ABC的面积最大时，m＝________．解析：由两点间距离公式可得|AC|＝10，直线AC的方程为x－3y＋2＝0，所以点B到直线AC的距离d＝|m－3m＋2|10，所以△ABC的面积S＝12|AC|·d＝12|m－3m＋2|＝12|m－322－14|，又1m4，所以1m2，所以当m＝32，即m＝94时，S取得最大值．答案：94圆的方程及应用-3-[核心提炼]1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F0，表示以－D2，－E2为圆心，D2＋E2－4F2为半径的圆．[典型例题](1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是__________，半径是__________．(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的方程为________．【解析】(1)由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆．(2)设圆心为(a，0)(a＞0)，则圆心到直线2x－y＝0的距离d＝|2a－0|4＋1＝455，得a＝2，半径r＝（a－0）2＋（0－5）2＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.【答案】(1)(－2，－4)5(2)(x－2)2＋y2＝9求圆的方程的两种方法(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程．(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程．[对点训练]1．圆心在曲线y＝2x(x0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝5B．(x－2)2＋(y－1)2＝5C．(x－1)2＋(y－2)2＝25D．(x－2)2＋(y－1)2＝25-4-解析：选A.y′＝2x′＝－2x2，令－2x2＝－2，得x＝1，得平行于直线2x＋y＋1＝0的曲线y＝2x(x0)的切线的切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标为(1，2)，以该点为圆心且与直线2x＋y＋1＝0相切的圆的面积最小，此时圆的半径为55＝5，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.2．过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A．26B．8C．46D．10解析：选C.设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则D＋3E＋F＋10＝0，4D＋2E＋F＋20＝0，D－7E＋F＋50＝0.解得D＝－2，E＝4，F＝－20.所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋26或y＝－2－26，所以M(0，－2＋26)，N(0，－2－26)或M(0，－2－26)，N(0，－2＋26)，所以|MN|＝46.3．(2019·宁波镇海中学高考模拟)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则m＝________；|MP|＝________．解析：因为圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，所以直线l：x＋my＋1＝0过圆心C(1，2)，所以1＋2m＋1＝0.解得m＝－1.圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，可化为(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆心(1，2)，半径r＝2，因为经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，所以|MP|＝（1＋1）2＋（2＋1）2－4＝3.答案：－13直线与圆、圆与圆的位置关系[核心提炼]1．直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离．-5-(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离．2．圆与圆的位置关系的判定(1)d＞r1＋r2⇔两圆外离；(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔两圆相交；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．[典型例题](1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离(2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A．3B.212C．22D．2【解析】(1)由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2，两圆半径之差为1，故两圆相交．(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(0，1)，半径为r＝1，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为1.而S△PBC＝12r·|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，-6-此时d＝|5|k2＋1＝12＋22＝5，即k2＝4，因为k0，所以k＝2.【答案】(1)B(2)D解决直线与圆、圆与圆位置关系的方法(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．[对点训练]1．(2019·高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．解析：法一：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝5.法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以m＋10－（－2）×2＝－1，所以m＝－2，r＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝5.答案：－252．(2019·绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O1和圆O2都经过点A(0，1)，若两圆与直线4x－3y＋5＝0及y＋1＝0均相切，则|O1O2|＝________．解析：如图，因为原点O到直线4x－3y＋5＝0的距离d＝|5|42＋（－3）2＝1，到直线y＝－1的距离为1，且到(0，1)的距离为1，所以圆O1和圆O2的一个圆心为原点O，不妨看作是圆O1，设O2(a，b)，则由题意：b＋1＝a2＋（b－1）2b＋1＝|4a－3b＋5|42＋（－3）2，解得a＝2b＝1.所以|O1O2|＝22＋12＝5.答案：5-7-直线、圆与其他知识的交汇问题[核心提炼]高考对直线和圆的考查重在基础，多以选择题、填空题形式出现，将直线和圆与函数、不等式、平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇，体现命题创新．[典型例题](1)在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若PA→·PB→≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．(2)(2019·广东省五校协作体第一次诊断考试)两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为________．【解析】(1)设P(x，y)，则由PA→·PB→≤20可得，(－12－x)(－x)＋(－y)(6－y)≤20，即(x＋6)2＋(y－3)2≤65，所以P为圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65上或其内部一点．又点P在圆x2＋y2＝50上，联立得x2＋y2＝50，（x＋6）2＋（y－3）2＝65，解得x＝1，y＝7或x＝－5，y＝－5，即P为圆x2＋y2＝50的劣弧MN上的一