2021高考数学一轮复习 第12章 选修4-4 第1节 坐标系教学案 文 北师大版

-1-第12章选修4-4全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中考查1道解答题，分值10分.2.考查内容高考对本章内容的考查主要有以下两个方面(1)极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化；(2)极坐标、参数方程的应用.3.备考策略(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律①极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化问题；②极坐标的定义及应用问题；③参数方程的定义及应用问题.(2)重视数形结合、转化与化归思想的应用.第一节坐标系[最新考纲]1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(对应学生用书第204页)1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λxλ＞0，y′＝μyμ＞0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念-2-(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；从极点O引一条射线Ox，叫做极轴；选定一个单位长度、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.4．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)半径为r的圆ρ＝2rcos_θ－π2≤θ＜π2圆心为r，π2，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝α＋π(θ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a－π2＜θ＜π2过点α，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)-3-(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．()(2)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的一个极坐标是2，－π3.()(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．()(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×二、教材改编1．若点P的直角坐标为(－3，3)，则点P的极坐标为()A.23，π6B.3，π6C.23，56πD.－23，56πC[因为点P(－3，3)在第二象限，与原点的距离为23，且OP与x轴所成的角为5π6，所以点P的极坐标为23，5π6.]2．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2B．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4A[∵y＝1－x(0≤x≤1)，∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)，∴ρ＝1sinθ＋cosθ0≤θ≤π2.]3．在极坐标系中，A2，－π3，B4，2π3两点间的距离为________．6[法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6.-4-法二：∵A2，－π3，B4，2π3的直角坐标系为A(1，－3)，B(－2,23)，∴|AB|＝－2－12＋23＋32＝6.]4．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为______．x2＋y2－2y＝0[由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，即x2＋y2＝2y.](对应学生用书第205页)⊙考点1平面直角坐标系下图形的伸缩变换伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：x′＝λxλ＞0，y′＝μyμ＞0的作用下的变换方程的求法是将x＝x′λ，y＝y′μ代入y＝f(x)，得y′μ＝fx′λ，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．1.求双曲线C：x2－y264＝1经过φ：x′＝3x，2y′＝y变换后所得曲线C′的焦点坐标．[解]由伸缩变换x′＝3x，2y′＝y得到x＝13x′，y＝2y′，代入x2－y264＝1得x′29－4y′264＝1，化简得x′29－y′216＝1.即曲线C′的方程为x′29－y′216＝1，则曲线C′是双曲线，其焦点坐标为(－5,0)和(5,0)．2．若函数y＝f(x)的图像在伸缩变换φ：x′＝2x，y′＝3y的作用下得到曲线的方程为y′＝3sinx′＋π6，求函数y＝f(x)的最小正周期．-5-[解]由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sinx′＋π6得3y＝3sin2x＋π6，整理得y＝sin2x＋π6，故f(x)＝sin2x＋π6.所以函数f(x)的最小正周期为π.3．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆x225＋y216＝1的一个伸缩变换公式φ：x′＝λx，y′＝μy(λ，μ＞0)，求λ，μ的值．[解]将变换后的椭圆x225＋y216＝1改写为x′225＋y′216＝1，把伸缩变换公式φ：x′＝λx，y′＝μy(λ，μ＞0)代入上式得：λ2x225＋μ2y216＝1，即λ52x2＋μ42y2＝1，与x2＋y2＝1比较系数得λ52＝1，μ42＝1，所以λ＝5，μ＝4.应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的点的坐标(x′，y′)．⊙考点2极坐标与直角坐标的互化1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．2．极角的确定由tanθ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．(1)当x≠0时，θ角才能由tanθ＝yx按上述方法确定．(2)当x＝0时，tanθ没有意义，这时可分三种情况处理：-6-当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y＞0时，可取θ＝π2；当x＝0，y＜0时，可取θ＝3π2.[一题多解](2019·江苏高考)在极坐标系中，已知两点A3，π4，B2，π2，直线l的方程为ρsinθ＋π4＝3.(1)求A，B两点间的距离；(2)求点B到直线l的距离．[解](1)法一：(使用余弦定理)设极点为O，在△AOB中，A3，π4，B2，π2，由余弦定理得|AB|＝32＋22－2×3×2×cosπ2－π4＝5.法二：(化为直角坐标)点A的直角坐标为322，322，点B的直角坐标为(0，2)，则|AB|＝322－02＋322－22＝5.(2)由ρsinθ＋π4＝3得22ρsinθ＋22ρcosθ＝3，所以直线l的直角坐标方程为x＋y－32＝0，又点B的直角坐标为(0，2)，则点B到直线l的距离d＝|2－32|2＝2.把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后利用平面解析几何的知识解决问题，这是常用的方法．[教师备选例题]在极坐标系中，直线l的方程为ρsinπ6－θ＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．[解]因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，化成直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为ρsinπ6－θ＝2，-7-化成直角坐标方程为y＝33(x－4)，则直线l过A(4,0)，倾斜角为π6，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB＝π6，如图，连接OB，因为OA为直径，从而∠OBA＝π2，所以AB＝4cosπ6＝23.所以直线l被曲线C截得的弦长为23.1.在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsinθ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ＜2π)．(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．[解](1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsinθ－π4＝22，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.(2)将两直角坐标方程联立得x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0，解得x＝0，y＝1，即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为1，π2即为所求．2．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cosθ－π4＝2.(1)求圆O1和圆O2的直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[解](1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.因为ρ2－22ρcosθ－π4＝2，-8-所以ρ2－22ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2，所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinθ＋π4＝22.⊙考点3求曲线的极坐标方程求简单曲线的极坐标方程的方法(1)设点M(ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用三角函数及正、余弦定理求解|OM|与θ的关系．(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B2，π4，C2，3π4，D(2，π)，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的圆心分别是(1,0)，1，π2，(1，π)，曲线M1是弧AB︵，曲线M2是弧BC︵，曲线M3是弧CD︵.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．[解](1)由题设可得，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ0≤θ≤π4，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθπ4≤θ≤3π4，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cosθ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sinθ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；-9-若3π4≤θ≤π，则－2cosθ＝3，解得θ＝5π6.综上，P的极坐标为3，π6或3，π