2021高考数学一轮复习 第3章 导数及其应用 第3节 利用导数解决函数的极值、最值教学案 理 北师

1第三节利用导数解决函数的极值、最值[最新考纲]1.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．函数的极值与导数(1)函数的极大值点和极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点．其函数值f(x0)为函数的极大值．(2)函数的极小值点和极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．(3)极值和极值点：函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点．(4)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)．②求方程f′(x)＝0的根．③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．2．函数的最值与导数(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．函数的最小值点也有类似的意义．(2)函数的最大值：最大值或者在极值点取得，或者在区间的端点取得．(3)最值：函数的最大值和最小值统称为最值．(4)求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[常用结论]1．若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数的最值点．2．若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点．2一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值不一定比极小值大．()(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．()(3)函数的极大值一定是函数的最大值．()(4)开区间上的单调连续函数无最值．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√二、教材改编1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点C[设f′(x)的图像与x轴的4个交点从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当x＜x1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.]2．设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点D[f′(x)＝－2x2＋1x＝x－2x2(x＞0)，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，所以x＝2为f(x)的极小值点．]3．函数y＝xex的最小值是________．－1e[因为y＝xex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.当x＞－1时，y′＞0；当x＜－13时，y′＜0，所以当x＝－1时函数取得最小值，且ymin＝－1e.]4．函数f(x)＝x－alnx(a＞0)的极小值为________．a－alna[因为f(x)＝x－alnx(a＞0)，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax(a＞0)，由f′(x)＝0，解得x＝a.当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna．]考点1利用导数解决函数的极值问题利用导数研究函数极值问题的一般流程根据函数图像判断函数极值的情况设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)D[由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]4可导函数在极值点处的导数一定为零，是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号．求已知函数的极值已知函数f(x)＝(x－2)(ex－ax)，当a＞0时，讨论f(x)的极值情况．[解]∵f′(x)＝(ex－ax)＋(x－2)(ex－a)＝(x－1)(ex－2a)，∵a＞0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln2a.①当a＝e2时，f′(x)＝(x－1)(ex－e)≥0，∴f(x)在R上单调递增，故f(x)无极值．②当0＜a＜e2时，ln2a＜1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2a)ln2a(ln2a,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值故f(x)有极大值f(ln2a)＝－a(ln2a－2)2，极小值f(1)＝a－e.③当a＞e2时，ln2a＞1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，1)1(1，ln2a)ln2a(ln2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值故f(x)有极大值f(1)＝a－e，极小值f(ln2a)＝－a(ln2a－2)2.综上，当0＜a＜e2时，f(x)有极大值－a(ln2a－2)2，极小值a－e；当a＝e2时，f(x)无极值；当a＞e2时，f(x)有极大值a－e，极小值－a(ln2a－2)2.求函数极值的一般步骤(1)先求函数f(x)的定义域，再求函数f(x)的导函数．(2)求f′(x)＝0的根．(3)判断在f′(x)＝0的根的左、右两侧f′(x)的符号，确定极值点．(4)求出具体极值．[教师备选例题]5设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由．[解]f′(x)＝1x＋1＋a(2x－1)＝2ax2＋ax－a＋1x＋1(x＞－1)．令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞)．①当a＝0时，g(x)＝1，此时f′(x)＞0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点．②当a＞0时，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8)．a．当0＜a≤89时，Δ≤0，g(x)≥0，f′(x)≥0.函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点．b．当a＞89时，Δ＞0，设方程2ax2＋ax－a＋1＝0的两根为x1，x2(x1＜x2)，因为x1＋x2＝－12，所以x1＜－14，x2＞－14.由g(－1)＝1＞0，可得－1＜x1＜－14.所以当x∈(－1，x1)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．因此函数有两个极值点．③当a＜0时，Δ＞0，由g(－1)＝1＞0，可得x1＜－1＜x2.当x∈(－1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．所以函数有一个极值点．综上所述，当a＜0时，函数f(x)有一个极值点；当0≤a≤89时，函数f(x)无极值点；当a＞89时，函数f(x)有两个极值点．已知函数极值求参数的值或范围(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.6(2)若函数f(x)＝x33－a2x2＋x＋1在区间12，3上有极值点，则实数a的取值范围是________．(1)－7(2)2，103[(1)由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则a2＋3a－b－1＝0，b－6a＋3＝0，解得a＝1，b＝3或a＝2，b＝9，经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.(2)函数f(x)在区间12，3上有极值点等价于f′(x)＝0有2个不相等的实根且在12，3内有根，由f′(x)＝0有2个不相等的实根，得a＜－2或a＞2.由f′(x)＝0在12，3内有根，得a＝x＋1x在12，3内有解，又x＋1x∈2，103，所以2≤a＜103，综上，a的取值范围是2，103.]已知函数极值点或极值求参数的2个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[教师备选例题]若函数f(x)＝ex－alnx＋2ax－1在(0，＋∞)上恰有两个极值点，则a的取值范围为()A．(－e2，－e)B．－∞，－e2C．－∞，－12D．(－∞，－e)D[∵f′(x)＝ex－ax＋2a，(x＞0)∴由f′(x)＝0得a＝xex1－2x.令g(x)＝xex1－2x(x＞0)．7由题意可知g(x)＝a在(0，＋∞)上恰有两个零点．又g′(x)＝－ex2x＋1x－11－2x2(x＞0)，由g′(x)＞0得0＜x＜1，且x≠12.由g′(x)＜0得x＞1.∴函数g(x)在0，12，12，1上递增，在(1，＋∞)上递减．又g(0)＝0，g(1)＝－e，结合图像(图略)可知a∈(－∞，－e)，故选D.]1.若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1A[因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令f′(x)＞0，解得x＜－2或x＞1，令f′(x)＜0，解得－2＜x＜1，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值＝f(1)＝－1.]2．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则实数c的值为()A．6B．2C．2或6D．0B[由f′(2)＝0可得c＝2或6.当c＝2时，结合图像(图略)可知函数先增后减再增，在x＝2处取得极小值；当c＝6时，结合图像(图略)可知，函数在x＝2处取得极大值．故选B.]3．(2019·长春市质量监测)若函数f(x)＝(x2＋ax＋3)ex在(0，＋∞)内有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－22]B．(－∞，－22)C．(－∞，－3]D．(－∞，－3)C[f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋3)ex＝[x2＋(a＋2)x＋a＋3]ex，令g(x)＝x2＋(a＋2)x＋a＋3.由题意知，g(x)在(0，＋∞)内先减后增或先增后减，结合函数g(x)的图像特征知，－a＋22＞0，a＋3≤0，或－a＋22≤0，a＋3＜0，解得a≤－3.故选C.]8考点2用导数求函数的最值求函数f(x)在[a，b]上的最大值、最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值．(2