2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式教学

-1-第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式[最新考纲]1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝sinαcosα.2．诱导公式组序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变符号看象限[常用结论]1．同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()-2-(4)若sin(kπ－α)＝23(k∈Z)，则sinα＝23.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．化简sin690°的值是()A.12B．－12C.32D．－32B[sin690°＝sin(720°－30°)＝－sin30°＝－12.选B.]2．若sinα＝55，π2＜α＜π，则tanα＝.－12[∵π2＜α＜π，∴cosα＝－1－sin2α＝－255，∴tanα＝sinαcosα＝－12.]3．已知tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα的值为．3[原式＝tanα＋1tanα－1＝2＋12－1＝3.]4．化简cosα－π2sin52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．－sin2α[原式＝sinαcosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α.]考点1同角三角函数基本关系式同角三角函数基本关系的应用技巧(1)弦切互化：利用公式tanα＝sinαcosα实现角α的弦切互化．(2)和(差)积转换：利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα进行变形、转化．(3)“1”的变换：1＝sin2α＋cos2α＝cos2α(tan2α＋1)＝sin2α1＋1tan2α.“知一求二”问题(1)[一题多解]已知cosα＝k，k∈R，α∈π2，π，则sin(π＋α)＝()-3-A．－1－k2B.1－k2C．±1－k2D．－k(2)(2019·福州模拟)若α∈π2，π，sin(π－α)＝35，则tanα＝()A．－43B.43C．－34D.34(1)A(2)C[(1)法一：(直接法)由cosα＝k，α∈π2，π得sinα＝1－k2，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－1－k2.故选A.法二：(排除法)易知k＜0，从而sin(π＋α)＝－sinα＜0，排除选项BCD，故选A.(2)因为α∈π2，π，sinα＝35，所以cosα＝－45，所以tanα＝－34.]利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的，此时应注意在利用sin2α＋cos2α＝1求sinα或cosα时，符号的选取．弦切互化(1)(2019·郑州模拟)已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则cos2α＋12sin2α的值是()A.35B．－35C．－3D．3(2)已知θ为第四象限角，sinθ＋3cosθ＝1，则tanθ＝.(1)A(2)－43[(1)由sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5得tanα＋33－tanα＝5，可得tanα＝2，则cos2α＋12sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝cos2α＋sinαcosαcos2α＋sin2α＝1＋tanα1＋tan2α＝35.故选A.(2)由(sinθ＋3cosθ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sinθcosθ＝－8cos2θ，又因为θ为第四象限角，所以cosθ≠0，所以6sinθ＝－8cosθ，所以tanθ＝－43.]若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个-4-分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．sinα±cosα与sinαcosα关系的应用(1)若|sinθ|＋|cosθ|＝233，则sin4θ＋cos4θ＝()A.56B.1718C.89D.23(2)已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2＋(3－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，则sinθ－cosθ＝()A.1－32B.1＋32C.3D．－3(1)B(2)B[(1)因为|sinθ|＋|cosθ|＝233，两边平方，得1＋|sin2θ|＝43.所以|sin2θ|＝13.所以sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－12sin22θ＝1718.故选B.(2)因为sinθ，cosθ是方程2x2＋(3－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，所以sinθ＋cosθ＝1－32，sinθ·cosθ＝m2，可得(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ＝1＋m＝2－32，解得m＝－32.因为θ为第二象限角，所以sinθ＞0，cosθ＜0，即sinθ－cosθ＞0，因为(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθ·cosθ＝1－m＝1＋32，所以sinθ－cosθ＝1＋32＝1＋32.故选B.]对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t(t∈[－2，2])，则sinαcosα＝t2－12，sinα－cosα＝±2－t2(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．1.已知sin(π＋α)＝－13，则tanπ2－α值为()A．22B．－22C.24D．±22-5-D[因为sin(π＋α)＝－13，所以sinα＝13，cosα＝±223，tanπ2－α＝cosαsinα＝±22.故选D.]2．已知tanθ＝2，则sinθ＋cosθsinθ＋sin2θ的值为()A.195B.165C.2310D.1710C[原式＝sinθ＋cosθsinθ＋sin2θ＝sinθ＋cosθsinθ＋sin2θsin2θ＋cos2θ＝tanθ＋1tanθ＋tan2θtan2θ＋1，将tanθ＝2代入，得原式＝2310.故选C.]3．已知sinx＋cosx＝3－12，x∈(0，π)，则tanx＝()A．－33B.33C.3D．－3D[因为sinx＋cosx＝3－12，且x∈(0，π)，所以1＋2sinxcosx＝1－32，所以2sinxcosx＝－32＜0，所以x为钝角，所以sinx－cosx＝sinx－cosx2＝1＋32，结合已知解得sinx＝32，cosx＝－12，则tanx＝sinxcosx＝－3.]4．已知sinθ＝m－3m＋5，cosθ＝4－2mm＋5(m≠0)，则tan(kπ＋θ)(k∈Z)的值为．－512[因为sinθ＝m－3m＋5，cosθ＝4－2mm＋5，所以sin2θ＋cos2θ＝m－3m＋52＋4－2mm＋52＝1，解得m＝8，所以sinθ＝513，cosθ＝－1213，所以tanθ＝sinθcosθ＝－512.所以tan(kπ＋θ)(k∈Z)＝tanθ＝－512.]考点2诱导公式的应用应用诱导公式的一般思路(1)化大角为小角，化负角为正角；(2)角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．-6-(1)设f(α)＝2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝.(2)已知cosπ6－θ＝a，则cos5π6＋θ＋sin2π3－θ的值是．(1)3(2)0[(1)因为f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，所以f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.(2)因为cos5π6＋θ＝cosπ－π6－θ＝－cosπ6－θ＝－a，sin2π3－θ＝sinπ2＋π6－θ＝cosπ6－θ＝a，所以cos5π6＋θ＋sin2π3－θ＝0.](1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．1.化简：tanπ＋αcos2π＋αsinα－3π2cos－α－3πsin－3π－α＝.－1[原式＝tanαcosαsin－2π＋α＋π2cos3π＋α[－sin3π＋α]＝tanαcosαsinπ2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.]2．已知角α终边上一点P(－4,3)，则cosπ2＋α·sin－π－αcos11π2－α·sin9π2＋α的值为．-7-－34[原式＝－sinαsinα－sinαcosα＝tanα，根据三角函数的定义得tanα＝－34.]考点3同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本思路①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式化简要求①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值已知f(x)＝cos2nπ＋x·sin2nπ－xcos2[2n＋1π－x](n∈Z)．(1)化简f(x)的表达式；(2)求fπ2018＋f504π1009的值．[解](1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，f(x)＝cos22kπ＋x·sin22kπ－xcos2[2×2k＋1π－x]＝cos2x·sin2－xcos2π－x＝cos2x·－sinx2－cosx2＝sin2x；当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，f(x)＝cos2[2k＋1π＋x]·sin2[2k＋1π－x]cos2{[2×2k＋1＋1]π－x}＝cos2[2kπ＋π＋x]·sin2[2kπ＋π－x]cos2[2×2k＋1π＋π－x]＝cos2π＋x·sin2π－xcos2π－x＝－cosx2sin2x－cosx2＝sin2x，综上得f(x)＝sin2x.(2)由(1)得fπ2018＋f504π1009＝sin2π2018＋sin21008π2018＝sin2π2018＋sin2π2－π2018-8-＝sin2π2018＋cos2π2018＝1.(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范