（浙江专用）2020高考数学二轮复习 特色专题 高考新元素教案

-1-特色专题高考新元素一创新型问题新课程标准要求学生“对新颖的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．”随着改革的深入和推进，高考的改革使知识立意转向能力立意，推出了一批新颖而又别致的、具有创新意识和创新思维的新题．创新型试题是考查学生创新意识最好的题型之一，它对考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力、类比猜想能力、数学探究能力等都有良好的作用．高考数学创新型试题主要是指突出能力考查的新颖问题(主要指命题的立意新、试题的背景新、问题的情景新、设问的方式新等)．此类问题没有固定的模式，很难有现成的方法和套路，要求思维水平高，思维容量大，但运算量较小，求解此类问题，要求学生有临场阅读，提取信息和进行信息加工、处理的能力，灵活运用基础知识的能力和分析问题、解决问题的综合能力．“新定义”问题新定义问题是指在特定情景下，用新的数学符号或文字叙述对研究的问题进行科学的、合乎情理的定义，并在此定义下结合已学过的知识解决给出的问题——新定义问题的解题技法．求解此类问题，首先应明确新定义的实质，利用新定义中包含的内容，结合所学知识，将问题向熟悉的、已掌握的知识进行转化．[典型例题](1)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()A．18个B．16个C．14个D．12个(2)设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使得f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”．若函数f(x)＝ax2－3x－a＋52在区间[1，4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0]B.0，12C.－∞，12D.12，＋∞【解析】(1)法一：不妨设a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111，00010111，00011011，00011101，00100111，00101011，00101101，-2-00110011，00110101，01000111，01001011，01001101，01010011，01010101，共14个．法二：设a1，a2，a3，…，ak中0的个数为t，则1的个数为k－t，由2m＝8知，k≤8且t≥k－t≥0，则t≤k≤2tk≤8t≤4k，t∈N.当t＝1时，k＝1，2，当t＝2时，k＝2，3，4，当t＝3时，k＝3，4，5，6，当t＝4时，k＝4，5，6，7，8，所以“规范01数列”共有2＋3＋4＋5＝14(个)．法三：前同法二．问题即是t≤k≤2tk≤8t≤4k，t∈N表示的区域内的整点(格点)的个数，如图整点(格点)为2＋3＋4＋5＝14(个)，即“规范01数列”共有14个．(2)方程ax2－3x－a＋52＝－x在区间[1，4]上有解，显然x≠1，所以方程ax2－3x－a＋52＝－x在区间(1，4]上有解，即求函数a＝2x－52x2－1在区间(1，4]上的值域，令t＝4x－5，则t∈(－1，11]，a＝8tt2＋10t＋9，当t∈(－1，0]时，a≤0；当t∈(0，11]时，0a＝8t＋10＋9t≤82t×9t＋10＝12，当且仅当x＝3时取等号．综上，实数a的取值范围是－∞，12，故选C.【答案】(1)C(2)C[对点训练]1．定义“上升数”是一个数中右边的数字比左边的数字大的自然数(如123，568，2479等)，任取一个两位数，这个两位数为“上升数”的概率为()-3-A.15B.25C.35D.45解析：选B.两位数10，11，12，…，99共90个，其中十位数为1的“上升数”为12，13，…，19共8个，十位数为2的“上升数”为23，24，…，29共7个，…十位数为8的“上升数”为89，只有1个，则所有两位数中的“上升数”共8＋7＋6＋…＋1＝8（8＋1）2＝36个，则两位数为“上升数”的概率P＝3690＝25，选B.2．(经典考题)定义“函数y＝f(x)是D上的a级类周期函数”如下：函数y＝f(x)，x∈D，对于给定的非零常数a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有af(x)＝f(x＋T)恒成立，此时T为f(x)的周期．若y＝f(x)是[1，＋∞)上的a级类周期函数，且T＝1，当x∈[1，2)时，f(x)＝2x(2x＋1)，且y＝f(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A.56，＋∞B．[2，＋∞)C.103，＋∞D．[10，＋∞)解析：选C.因为x∈[1，2)时，f(x)＝2x(2x＋1)，所以当x∈[2，3)时，f(x)＝af(x－1)＝a·2x－1(2x－1)，当x∈[n，n＋1)时，f(x)＝af(x－1)＝a2f(x－2)＝…＝an－1f(x－n＋1)＝an－1·2x－n＋1(2x－2n＋3)，即x∈[n，n＋1)时，f(x)＝an－1·2x－n＋1(2x－2n＋3)，n∈N*，同理，当x∈[n－1，n)时，f(x)＝an－2·2x－n＋2(2x－2n＋5)，n∈N*.因为f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以a0且an－1·2n－n＋1(2n－2n＋3)≥an－2·2n－n＋2·(2n－2n＋5)，解得a≥103.故选C.3．(经典考题)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b3|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)解析：对于整数a1，b1，a2，b2，有a1＋b13＋a2＋b23＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)3∈S，a1＋b13－(a2＋b23)＝(a1－a2)＋(b1－b2)3∈S，(a1＋b13)·(a2＋b23)＝(a1a2＋3b1b2)＋(a1b2＋a2b1)3∈S，所以①正确．若S为封闭集，且存在元素x∈S，那么必有x－x＝0∈S，即一定有0∈S，所以②正确．当S＝{0}时，S为封闭集，所以③错误．取S＝{0}，T＝{0，1，2，3}时，显然2×3＝6∉T，所以④错误．答案：①②-4-“新运算”问题新运算问题是在原有运算的基础上定义了一种新运算，在准确把握信息本质的基础上，将这种新运算转化为早已熟悉的运算，从而进一步运用已有的知识去分析、解决问题．[典型例题](经典考题)当x≠1且x≠0时，数列{nxn－1}的前n项和Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxx－1(n∈N*)可以用数列求和的“错位相减法”求得，也可以由x＋x2＋x3＋…＋xn(n∈N*)按等比数列的求和公式，先求得x＋x2＋x3＋…＋xn＝x－xn＋11－x，两边都是关于x的函数，两边同时求导，(x＋x2＋x3＋…＋xn)′＝x－xn＋11－x′，从而得到Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝1－（n＋1）xn＋nxn＋1（1－x）2，按照同样的方法，请从二项展开式(1＋x)n＝1＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn出发，可以求得，Sn＝1×2×C1n＋2×3×C2n＋3×4×C3n＋…＋n(n＋1)×Cnn(n≥4)的值为________．(请填写最简结果)．【解析】依题意，对(1＋x)n＝1＋C1nx＋C2nx2＋C3nx3＋…＋Cnnxn两边同时求导，得n(1＋x)n－1＝C1n＋2C2nx＋3C3nx2＋…＋nCnnxn－1，①取x＝1，得C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n×2n－1，②②×2得，2C1n＋2×2C2n＋2×3C3n＋…＋2nCnn＝n×2n，③再对①式两边同时求导，得n(n－1)(1＋x)n－2＝1×2C2n＋2×3C3nx＋…＋n(n－1)Cnnxn－2，取x＝1，得1×2C2n＋2×3C3n＋…＋n(n－1)Cnn＝n(n－1)×2n－2，④③＋④得1×2C1n＋2×3C2n＋3×4C2n＋…＋n(n＋1)Cnn＝n×2n＋n(n－1)×2n－2＝n(n＋3)×2n－2.【答案】n(n＋3)×2n－2[对点训练]1．(经典考题)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是()A．若a与b共线，则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2解析：选B.若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确，由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2-5-＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．2．(经典考题)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”．(1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n(n∈N*)，证明：{an}是“H数列”；(2)设{an}是等差数列，其首项a1＝1，公差d0.若{an}是“H数列”，求d的值．解：(1)证明：由已知，当n≥1时，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝n＋1，使得Sn＝2n＝am.所以{an}是“H数列”．(2)由已知，得S2＝2a1＋d＝2＋d.因为{an}是“H数列”，所以存在正整数m，使得S2＝am，即2＋d＝1＋(m－1)d，于是(m－2)d＝1.因为d0，所以m－20，故m＝1.从而d＝－1.当d＝－1时，an＝2－n，Sn＝n（3－n）2是小于2的整数，n∈N*.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝2－Sn＝2－n（3－n）2，使得Sn＝2－m＝am，所以{an}是“H数列”．因此d的值为－1.二古代算术与现代高考我国是有着五千年文明的古国，具有丰富的文化基础，在数学领域里具有深厚的数学渊源，其中《九章算术》中的一些理论推动着当今科学和数学的发展，随着我国经济建设蓬勃发展，现今部分高考数学试题也在古代算术的基础上，结合现代高考元素应运而生，这些试题是古代算术与现代高考结合的经典范例，是传统文化与现代科学的有机融合．[典型例题](1)(2018·高考浙江卷)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则x＋y＋z＝100，5x＋3y＋13z＝100，当z＝81时，x＝______，y＝______．(2)(经典考题)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________．-6-【解析】(1)因为z＝81，所以x＋y＝19，5x＋3y＝73，解得x＝8，y＝11.(2)如图，单位圆内接正六边形由六个边长为1的正三角形组成，所以，正六边形的面积S6＝6×12×1×32＝332.【答案】(1)811(2)332[对点训练]1．(名师原创)《九章