2021高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理与余弦定理、三角形中的几何计算

-1-第六节正弦定理与余弦定理、三角形中的几何计算[最新考纲]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(对应学生用书第76页)1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R.a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C.变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA＝2R.cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab.2.三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．[常用结论]1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.2．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3．内角和公式的变形(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC.-2-一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()(2)在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×二、教材改编1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝()A．2B．1C.3D.2D[由asinA＝bsinB得b＝asinBsinA＝sinπ4sinπ6＝22×2＝2.]2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定B[∵bsinA＝24sin45°＝122，∴122＜18＜24，即bsinA＜a＜b.∴此三角形有两解．]3．在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为________．等腰三角形或直角三角形[由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．23[因为23sin60°＝4sinB，所以sinB＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC＝12×2×23＝23.]-3-(对应学生用书第76页)⊙考点1利用正、余弦定理解三角形解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及asinA＝bsinB＝csinC，可先求出角C及b，再求出c.(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA，先求出a，再求出角B，C.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理asinA＝bsinB可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由asinA＝csinC可求出c，而通过asinA＝bsinB求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，则bc＝()A．6B．5C．4D．3(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.①求A；②若2a＋b＝2c，求sinC.(1)A[∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－4c2＋b22bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.故选A.](2)[解]①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即62＋32cosC＋12sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－22.-4-由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝22，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝6＋24.解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝________.3π4[∵bsinA＋acosB＝0，∴asinA＝b－cosB.由正弦定理，得－cosB＝sinB，∴tanB＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝3π4.]2．在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC边上中线AD＝72，则BC＝________.9[设BD＝DC＝x，∠ADC＝α，∠ADB＝π－α，在△ADC中，(7)2＝x2＋722－2x×72cosα，①在△ABD中，(4)2＝x2＋722－2x×72cos(π－α)，②①＋②得x＝92，∴BC＝9.]3．(2019·贵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.(1)求边长a；(2)求AB边上的高CD的长．[解](1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，由余弦定理cosC＝a2＋b2－c22ab得cos120°＝a2＋a＋22－a＋422aa＋2，即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由三角形的面积公式得12absin∠ACB＝12c×CD，-5-所以CD＝absin∠ACBc＝3×5×327＝15314，即AB边上的高CD＝15314.法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由正弦定理得3sinA＝7sin∠ACB＝7sin120°，即sinA＝3314，在Rt△ACD中，CD＝ACsinA＝5×3314＝15314，即AB边上的高CD＝15314.[教师备选例题](2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acosB－π6.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．[解](1)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝acosB－π6，得asinB＝acosB－π6，即sinB＝cosB－π6，可得tanB＝3.又因为B∈(0，π)，可得B＝π3.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，有b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7.由bsinA＝acosB－π6，-6-可得sinA＝37.因为a＜c，故cosA＝27.因此sin2A＝2sinAcosA＝437，cos2A＝2cos2A－1＝17，所以，sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝437×12－17×32＝3314.⊙考点2与三角形面积有关的问题三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA＋C2＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．[解](1)由题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，故sinB2＝12，所以B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin120°－CsinC＝32tanC＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.由(1)知A＋C＝120°，-7-所以30°＜C＜90°，故12＜a＜2，从而38＜S△ABC＜32.因此，△ABC面积的取值范围是38，32.(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解．(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积．(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为________．63[法一：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的面积S＝12acsinB＝12×43×23×sinπ3＝63.法二：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，所以A＝π2，所以△ABC的面积S＝12×23×6＝63.]2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．[解](1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.-8-(2)由S＝a24，得12absinC＝a24，故有sinBsinC＝12sinA＝12sin2B＝sinBcosB，由sinB≠0，得sinC＝cosB.又B，C∈(0，π)．所以C＝π2±B.当B＋C＝π2时，A＝π2；当C－B＝π2时，A＝π4.综上，A＝π2或A＝π4.[教师备选例题]已知△ABC的面积为33，AC＝23，BC＝6，延长BC至D，使∠ADC＝45°.(1)求AB的长；(2)求△ACD的面积．[解](1)因为S△ABC＝12×6×23×sin∠ACB＝33，所以sin∠ACB＝12，∠ACB＝30°或150°，又∠ACB＞∠ADC，且∠ADC＝45°，所以∠ACB＝150°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝12＋36－2×23×6cos150°＝84，所以AB＝84＝221.(2)在△ACD中，因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，所以∠CAD＝105°，由正弦定理得CDsin∠CAD＝ACsin∠ADC，所以CD＝3＋3，又∠ACD＝180°－150°＝30°，所以S△ACD＝12AC·CD