（浙江专用）2020高考数学二轮复习 专题六 计数原理与古典概率 第3讲 独立重复试验模型及二项分布

-1-第3讲独立重复试验模型及二项分布相互独立事件[核心提炼]相互独立事件(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．(3)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．[典型例题](1)(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)小明喜欢玩有三个关卡的通关游戏，根据他的游玩经验，每次开启一个新的游戏，这三个关卡他能够通过的概率分别为12，13，14(这个游戏的游戏规则是：如果玩者没有通过上一个关卡，他照样可以玩下一个关卡，但玩该游戏的得分会有影响)，则小明在开启一个新的游戏时，他能够通过两个关卡的概率为________，设X表示他能够通过此游戏的关卡的个数，则随机变量X的数学期望为________．(2)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．①求至少有一种新产品研发成功的概率；②若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．【解】(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.又P(X＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14，P(X＝0)＝1－12×1－13×1－14＝14，P(X＝1)＝12×1－13×1－14＋1－12×13×1－14＋1－12×1－13×14＝1124，P(X＝3)＝12×13×14＝124.所以，随机变量X的分布列为X0123P14112414124所以E(X)＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.-2-故填14和1312.(2)记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P(E)＝23，P(E－)＝13，P(F)＝35，P(F－)＝25，且事件E与F，E与F－，E－与F，E－与F－都相互独立．①记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则H－＝E－F－，于是P(H－)＝P(E－)P(F－)＝13×25＝215，故所求的概率为P(H)＝1－P(H－)＝1－215＝1315.②设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0，100，120，220.因为P(X＝0)＝P(E－F－)＝13×25＝215，P(X＝100)＝P(E－F)＝13×35＝315，P(X＝120)＝P(EF－)＝23×25＝415，P(X＝220)＝P(EF)＝23×35＝615，故所求X的分布列为X0100120220P2151541525数学期望为E(X)＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615＝300＋480＋132015＝210015＝140.(1)正确分析所求事件的构成，将其转化为几个彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．(2)注意根据问题情境正确判断事件的独立性．(3)在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解．与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表：事件A，B相互独立概率计算公式-3-A，B同时发生P(AB)＝P(A)P(B)A，B同时不发生P(A－B－)＝P(A－)P(B－)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)A，B至少有一个不发生P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)A，B至少有一个发生P＝1－P(A－B－)＝1－P(A－)P(B－)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)A，B恰有一个发生P＝P(AB－＋A－B)＝P(A)P(B－)＋P(A－)P(B)[对点训练]1．天气预报，在元旦假期甲地降雨的概率为0.2，乙地降雨的概率为P，若至少一个地方降雨的概率为0.44，则P的值为()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4解析：选C.设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则至少一个地方降雨的事件C＝(AB)∪(A－B)∪(AB－)．所以P(C)＝P(AB)＋P(A－B)＋P(AB－)＝0.2P＋0.8P＋0.2(1－P)＝0.44，解得P＝0.3.2．(2019·温州十五校联合体期末联考)王先生家住A小区，他工作在B科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.若走L1路线，王先生最多遇到1次红灯的概率为________；若走L2路线，王先生遇到红灯次数X的数学期望为________．解析：走L1路线最多遇到1次红灯的概率为C03×(12)3＋C13×12×(12)2＝12；依题意X的可能取值为0，1，2，则由题意P(X＝0)＝(1－34)(1－35)＝110，P(X＝1)＝34×(1－35)＋(1－34)·35＝920，P(X＝2)＝34·35＝920，所以E(X)＝0×110＋1×920＋2×920＝2720.-4-答案：122720两点分布、二项分布[核心提炼]1．两点分布若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X01P1－pp其中p＝P(X＝1)称为成功概率．2．二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．3．两点分布与二项分布的均值、方差XX服从两点分布X～B(n,p)E(X)p(p为成功概率)npD(X)p(1－p)np(1－p)[典型例题](1)若离散型随机变量X的分布列为X01Pa2a22则X的数学期望E(X)＝()A．2B．2或12C.12D．1(2)在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖，已知教师甲投进每个球的概率都是23.①记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望和方差；-5-②求教师甲在一场比赛中获奖的概率．【解】(1)选C.因为分布列中概率和为1，所以a2＋a22＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以E(X)＝12.(2)①X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知，X～B(6，23)，P(X＝k)＝Ck6·(23)k·(13)6－k(k＝0，1，2，3，4，5，6)．所以X的分布列为X0123456P1729424320243160729802436424364729因为X～B(6，23)，所以E(X)＝6×23＝4.D(X)＝6×23×13＝43.②设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，则P(A)＝C24·(13)2·(23)4＋C14·13·(23)5＋(23)6＝3281，即教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281.(1)独立重复试验满足的条件独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布的判断①每次试验中，事件发生的概率是相同的．②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．[对点训练]1．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝59，则P(η≥2)的值为()A.3281B.1127C.6581D.1681-6-解析：选B.因为随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，又P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝59，解得p＝13，所以η～B(4，13)，则P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－1－134－C14×1－133×13＝1127.2．某风沙盐碱地为了摆脱经济不发达的困扰，决定种植一片环保林，已知在一年中，该环保林在当地每季度遭受自然灾害的概率为12，且每次受灾与否互不影响．若在1年内，没有受灾，地方经济可增加100万元；受灾一次，仍可增加40万元；受灾2次，经济可增加10万元；若受灾3次或3次以上，地方经济不但没有增加反而减少10万元．求该地种植环保林后在1年内的经济增加值X的分布列和数学期望．解：依题意：X的可能取值为100，40，10，－10.且P(X＝100)＝C04120×124＝116，P(X＝40)＝C14121×123＝14，P(X＝10)＝C24122×122＝38，P(X＝－10)＝C34123×121＋C44124×120＝516.所以X的分布列为X1004010－10P1161438516所以E(X)＝100×116＋40×14＋10×38＋(－10)×516＝1358.专题强化训练1．如果ξ～B(5，0.1)，那么P(ξ≤2)＝()A．0.0729B．0.00856C．0.91854D．0.99144解析：选D.P(ξ≤2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝k＝02Ck5·(0.1)k·(0.9)5－k＝(0.9)5＋5×(0.1)×(0.9)4＋5×42×(0.1)2×(0.9)3-7-＝0.59049＋0.32805＋0.0729＝0.99144.2．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，若某运动员罚球命中的概率为0.8，则他罚球两次得分的均值为()A．0.8分B．1.2分C．1.6分D．2分解析：选C.设罚球得分为X，则X的所有取值为0，1，2.P(X＝0)＝C02×0.80×0.22＝0.04，P(X＝1)＝C12×0.8×0.2＝0.32，P(X＝2)＝C22×0.82×0.20＝0.64，E(X)＝0.04×0＋0.32×1＋0.64×2＝1.6.3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是()A.512B.12C.712D.34解析：选C.依题意，得P(A)＝12，P(B)＝16，且事件A，B相互独立，则事件A，B中至少有一个发生的概率为1－P(A－·B－)＝1－P(A－)·P(B－)＝1－12×56＝712，故选C.4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312解析：选A.3次投篮投中2次的概率为P(X＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(X＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(X＝2)＋P(X＝3)＝C23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.5．(2019·台州高三期末质量评估)经检测，有一批产品的合格率为34，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P(ξ＝k)取得最大值时，k的值为()A．5B．4C．3D．2解析：选B.根据题意得，P(ξ＝k)＝Ck534k(1－34)5－k，k＝0，1，2，3，4，5，则P(ξ＝-8-0)＝C05340×145＝145，P(ξ＝1)＝C15(34)1×(14)4＝1545，P(ξ＝2)＝C25(34)2×(14)3＝9045，P(ξ＝3)＝C35(34)3