2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.5.1 全称量词与存在量词学案

11．5.1全称量词与存在量词1．能够记住全称量词和存在量词的概念．2．学会用符号语言表达全称量词命题和存在量词命题，并判断真假．3．理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系，能正确对含有一个量词的命题进行否定．1．全称量词与全称量词命题2.存在量词与存在量词命题21．x2是命题吗？对任意的x∈R，x2是命题吗？[答案]x2不是命题，不能判断真假，而对任意的x∈R，x2则是命题2．全称量词命题和存在量词命题中是否一定含有全称量词和特称量词？[答案]命题“正方形是特殊的菱形”，该命题中没有全称量词，即全称量词命题不一定含有全称量词3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．()(2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题．()(3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．()(4)内错角相等是全称量词命题．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√题型一全称量词命题与存在量词命题【典例1】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．(1)凸多边形的内角和等于360°；(2)有的力的方向不定；(3)矩形的对角线不相等；(4)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点．[思路导引]找命题中的量词及其命题的含义．[解](1)可以改为所有的凸多边形的内角和等于360°，故为全称量词命题．(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．(3)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．(4)含有量词“存在”，是存在量词命题．判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．[针对训练]31．用全称量词或存在量词表示下列语句(1)不等式x2＋x＋10恒成立；(2)当x为有理数时，13x2＋12x＋1也是有理数；(3)方程3x－2y＝10有整数解；(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解](1)对任意实数x，不等式x2＋x＋10成立．(2)对任意有理数x，13x2＋12x＋1是有理数．(3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．(4)若一个四边形是菱形，则所有这样菱形的对角线互相垂直.题型二判断全称量词命题的真【典例2】判断下列全称量词命题的真假．(1)任意实数的平方均为正数．(2)函数y＝kx＋b为一次函数．(3)同弧所对的圆周角相等．(4)∀x∈R，x2＋3≥3.[解](1)假命题．若这个实数为0，则其平方为0，不是正数．所以“任意实数的平方均为正数”为假命题．(2)假命题．当k＝0时，y＝kx＋b不是一次函数，为常函数．所以“函数y＝kx＋b为一次函数”是假命题．(3)真命题．根据圆周角的性质可知其为真命题．(4)真命题．∀x∈R，x2≥0，故有x2＋3≥3成立．判断全称量词命题真假的方法要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．[针对训练]2．判断下列全称量词命题的真假．(1)对每一个无理数x，x2也是无理数．(2)末位是零的整数，可以被5整除．(3)∀x∈R，有|x＋1|1.4[解](1)因为2是无理数，但(2)2＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．(2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题．(3)当x＝0时，不满足|x＋1|1，所以“∀x∈R，有|x＋1|1”为假命题．题型三存在量词命题真假的判断【典例3】判断下列存在量词命题的真假．(1)有的集合中不含有任何元素．(2)存在对角线不互相垂直的菱形．(3)∃x∈R，满足3x2＋20.(4)有些整数只有两个正因数．[解](1)由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．(2)由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．(3)∀x∈R，有3x2＋20，因此存在量词命题“∃x∈R,3x2＋20”是假命题．(4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题．判断存在量词命题真假的方法判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题．[针对训练]3．判断下列存在量词命题的真假．(1)有些二次方程只有一个实根．(2)某些平行四边形是菱形．(3)存在实数x1、x2，当x1x2时，有x21x22.[解](1)由于存在二次方程x2－4x＋4＝0只有一个实根，所以存在量词命题“有些二次方程只有一个实根”是真命题．(2)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题．5(3)当x1＝－2，x2＝1时有x21x22，故“存在实数x1、x2，当x1x2时，有x21x22”为真命题.题型四含有量词的命题的应用【典例4】已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．[解]∵“∀1≤x≤2，x2－m≥0”成立，∴x2－m≥0对1≤x≤2恒成立．又y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，∴y＝x2－m的最小值为1－m.∴1－m≥0.解得m≤1.∴实数m的取值范围是{m|m≤1}．[变式]若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围．[解]∵“∃1≤x≤2，x2－m≥0”成立，∴x2－m≥0在1≤x≤2有解．又函数y＝x2在1≤x≤2上单调递增，∴函数y＝x2在1≤x≤2上的最大值为22＝4.∴4－m≥0，即m≤4.∴实数m的取值范围是{m|m≤4}．求参数范围的2类题型(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．[针对训练]4．是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋50对于任意x∈R恒成立，并说明理由．[解]不等式m＋x2－2x＋50可化为m－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m－4即可．故存在实数m使不等式m＋x2－2x＋50对于任意x∈R恒成立，此时需m－4.65．若存在一个实数x，使不等式m－x2－2x＋50成立，求实数m的取值范围．[解]不等式m－(x2－2x＋5)0可化为mx2－2x＋5.令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式mx2－2x＋5成立，只需mtmin.又t＝(x－1)2＋4，∴tmin＝4，∴m4.所以所求实数m的取值范围是{m|m4}．课堂归纳小结1．判断全称量词命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．2．判定全称量词命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x，使p(x)为假，则全称量词命题为假．3．判定存在量词命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假.1．下列命题中，不是全称量词命题的是()A．任何一个实数乘0都等于0B．自然数都是正整数C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数D．一定存在没有最大值的二次函数[解析]D选项是存在量词命题．[答案]D2．下列命题中，存在量词命题的个数是()①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|0.A．0B．1C．2D．3[解析]命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．[答案]B3．下列命题是“∀x∈R，x23”的另一种表述方法的是()A．有一个x∈R，使得x23B．对有些x∈R，使得x237C．任选一个x∈R，使得x23D．至少有一个x∈R，使得x23[解析]“∀x∈R，x23”是全称量词命题，改写时应使用全称量词．[答案]C4．对任意x8，xa恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]∵对于任意x8，xa恒成立，∴大于8的数恒大于a，∴a≤8.[答案]a≤85．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假．(1)∃x∈R，|x|＋2≤0；(2)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点．[解](1)存在量词命题．∵∀x∈R，|x|≥0，∴|x|＋2≥2，不存在x∈R，使|x|＋2≤0.故命题为假命题．(2)存在量词命题．∵x2＋x＋8＝x＋122＋3140，∴命题为假命题．(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．课后作业(八)复习巩固一、选择题1．下列量词是全称量词的是()A．至少有一个B．存在C．都是D．有些[答案]C2．下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称量词命题的个数是()A．1B．2C．3D．48[解析]①②④都是全称量词命题，③是存在量词命题．[答案]C3．下列命题是存在量词命题的是()A．一次函数的图象都是上升的或下降的B．对任意x∈R，x2＋x＋10C．存在实数大于或者等于3D．菱形的对角线互相垂直[解析]选项A，B，D中的命题都是全称量词命题，选项C中的命题是存在量词命题．[答案]C4．下列是全称量词命题并且是真命题的是()A．∀x∈R，x20B．∀x，y∈R，x2＋y20C．∀x∈Q，x2∈QD．∃x∈Z，使x21[解析]首先D项是存在量词命题，不符合要求；A项不是真命题，因为当x＝0时，x2＝0；B项也不是真命题，因为当x＝y＝0时，x2＋y2＝0；只有C项是真命题，同时也是全称量词命题．[答案]C5．下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是()A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x20C．任意无理数的平方必是无理数D．存在一个负数x，使1x2[解析]只有A，C两个选项中的命题是全称量词命题；且A显然为真命题．因为2是无理数，而(2)2＝2不是无理数，所以C为假命题．[答案]A二、填空题6．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为________________．[解析]命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“∀”符号可以表示为∀x≤0，x3≤0.[答案]∀x≤0，x3≤07．给出下列四个命题：①y＝1x⇔xy＝1；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④等腰三角形的底边的高线、中线重合．9其中全称量词命题是________．[解析]①②④是全称量词命题，③是存在量词命题．[答案]①②④8．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋20恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x22x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．[解析]①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x＝±2时，x2＝2，而±2为无理数，故②为假命题；③因为x2＋10(x∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为