福建省平和一中、南靖一中等五校2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题（含解析）

1福建省平和一中、南靖一中等五校2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知曲线方程为，P为曲线上任意一点，A，B为曲线的焦点，则（）A.B.C.D.2.抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A.B.C.D.3.2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为，，中位数分别为y1，y2，则（）A.,B.,C.,D.,4.双曲线-=1的渐近线方程为（）A.B.C.D.5.下列对一组数据的分析，不正确的说法是（）A.数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定B.数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定C.数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定D.数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定6.“m＞n＞0”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要7.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A.10B.9C.8D.68.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是（）A.恰有一个红球与恰有两个红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有个白球D.至少有一个红球与都是红球9.过A（2，-1）的直线l与抛物线y2=4x相交于C，D两点，若A为CD中点，则直线l的方程是（）A.B.C.D.10.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段AB=2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC=AB，连接AC；（2）以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为（）（参考数据：2.236）2A.B.C.D.11.已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A.B.C.3D.512.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为（）A.B.C.D.2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为______．14.P为椭圆上一点，F1、F2为左右焦点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为______．15.过双曲线-=1右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是______．16.以下四个关于圆锥曲线的命题：（1）直角坐标系内，到点（-1，2）和到直线2x+3y-4=0距离相等的点的轨迹是抛物线；（2）设A，B为两个定点，若|PA|-|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线；（3）方程2x2-4x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；（4）若直线mx+ny=4和⊙O：x2+y2=4没有交点，则过点P（m，n）的直线与椭圆=1的交点个数为2．其中真命题的序号为______．（写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：（x-3）（x+2）＜0，命题q：＞0，若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数x的取值范围．18.某地区有小学21所，中学14所，大学7所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校，对学生进行视力检查．（Ⅰ）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（Ⅱ）若从抽取的6所学校中随即抽取2所学校作进一步数据分析；①列出所有可能抽取的结果；②求抽取的2所学校没有大学的概率．319.已知椭圆的右焦点为F（1，0），且椭圆上的点到点F的最大距离为3，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过右焦点F倾斜角为60°的直线与椭圆C交于M、N两点，求弦长|MN|20.某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，2]，（2，4]，…，（14，16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计100户居民用水价格的平均数和中位数；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2017年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是=2x+33．若李某2017年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的水费．21.已知抛物线C的准线方程为x=-．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若过点P（t，0）的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且以AB为直径4的圆过原点O，求证t为常数，并求出此常数．22.如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，离心率e=，长轴与短轴的长度之和为10．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）在椭圆E上任取点P（与A、B两点不重合），直线PA交y轴于点C，直线PB交y轴于点D，证明：为定值．5答案和解析1.【答案】B【解析】解：曲线方程为，P为曲线上任意一点，A，B为曲线的焦点，根据椭圆的定义的应用，|PA|+|PB|=2a=8．故选：B．直接利用椭圆的方程和椭圆的定义的应用求出结果．本题考查的知识要点：椭圆的方程的应用和定义的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．2.【答案】C【解析】解：抛物线y=4x2的标准方程为x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选：C．把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：由茎叶图知甲的最高分为27，最低分为13，则==17.8，中位数y1=14；由茎叶图知乙的最高分为22，最低分为10，则==15.4，中位数y2=14，所以＞，y1=y2．故选：B．根据茎叶图分别判断甲、乙的最高分和最低分，利用平均数公式及中位数的定义分别求出甲、乙的平均数与中位数，可得答案．本题考查了利用茎叶图求数据的平均数与中位数．4.【答案】C【解析】解：根据题意，双曲线-=1的焦点在x轴上，且a==2，b=，则其渐近线方程y=±x；故选：C．根据题意，由双曲线的标准方程分析可得该双曲线的焦点位置以及a、b的值，由双曲线的渐近线方程计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的渐近线方程的计算公式．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查极差、平均数、标准差、方差的意义，属于基础题．根据极差、平均数、标准差、方差的意义即可判断．【解答】解：极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中．方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定．方差较小的数据波动较小，稳定程度高．平均数越小，说明数据整体上偏小，不能反映数据稳定与否．故选：B．66.【答案】C【解析】解：若m＞n＞0，则方程表示焦点在y轴上的椭圆；反之，若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m＞n＞0，∴“m＞n＞0”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件．故选：C．由椭圆的标准方程结合充分必要条件的判定得答案．本题考查椭圆的标准方程，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．7.【答案】C【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=-1，∵抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故选：C．抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题．利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【解答】解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，在A中，恰有一个红球与恰有两个红球既不能同时发生，也不能同时不发生，是互斥而不对立事件，故A正确；在B中，至少有一个红球与都是白球是对立事件，故B错误；在C中，至少有一个红球与至少有个白球能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选：A．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的综合问题，解决本题的关键在于灵活利用点差法，属于中等题．设点C（x1，y1）、D（x2，y2），先利用中点坐标公式得出，然后将C、D两点坐标代入抛物线的标准方程，并将两式作差，可求出直线l的斜率，然后由直线l过点A，利用点斜式可得出直线l的方程．【解答】解：设点C（x1，y1）、D（x2，y2），由于点A（2，-1）为线段CD的中点，则，所以，将点C、D的坐标分别代入抛物线的方程得，将上述两个等式相减得，即（y1-y2）（y1+y2）=4（x1-x2），所以，-2（y1-y2）=4（x1-x2），则直线l的斜率为，因此，直线l的方程为y+1=-2（x-2），即2x+y-3=0．故选：A．710.【答案】A【解析】解：由勾股定理可得：AC=，由图可知：BC=CD=1，AD=AE=≈1.236，BE≈2-1.236=0.764，则：0.764≤AF≤1.236，由几何概型中的线段型，可得：使得BE≤AF≤AE的概率约为=0.236，故选：A．由勾股定理可得：AC=，由图易得：0.764≤AF≤1.236，由几何概型中的线段型，可得：使得BE≤AF≤AE的概率约为=0.236，得解．本题考查了勾股定理、几何概型中的线段型，属简单题．11.【答案】A【解析】【分析】确定抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离．本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键．【解答】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合∴4+b2=9∴b2=5∴双曲线的一条渐近线方程为，即∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于故选：A．12.【答案】D【解析】解：如图，∵，，∴OA⊥F1B，则F1B：y=（x+c），联立，解得B（，），则+=c2，整理得：b2=3a2，∴c2-a2=3a2，即4a2=c2，∴=4，e==2．故选：D．由题意画出图形，结合已知可得F1B⊥OA，写出F1B的方程，与y=x联立求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．13.【答案】∀n∈N，n2≤2n【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故答案为：“∀n∈N，n2≤2n”根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础．14.【答案】8【解析】解：由椭圆方程可知，a=5，b=3，∴c=4∵P点在椭圆上，F1、F2为椭圆的左右焦点，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8在△PF1F2中，cos∠F1PF2=====cos60°=∴72-4|PF1||PF2|=2