福建省福州鼓楼区2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）

1福建省福州鼓楼区2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合0，1，，，则A.0，B.1，C.D.2.下列幂函数中过点，的偶函数是A.B.C.D.3.下列给出的同组函数中，表示同一函数的是和；和；和A.、B.C.、D.4.函数的定义域为A.B.C.D.5.函数的值域是A.B.C.D.6.函数的图象可能是A.B.C.D.7.已知函数的图象恒过点A，下列函数图象不经过点A.B.C.D.8.“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.若，则不等式的解集是A.B.C.D.10.已知函数的定义域是一切实数，则m的取值范围是A.B.C.D.11.已知函数为R上的减函数，则实数a的取值范围是A.B.C.D.12.已知函数，若任意，且都有，则实数a的取值范围A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知函数，则______．14.已知函数，且，则______．15.设，若，则______．16.给出以下四个命题：若集合，，，则，；2若函数的定义域为，则函数的定义域为；若函数的单调递减区间是；命题“，”的否定是“，”其中正确的命题有______只填序号三、解答题（本大题共6小题）17.计算：；已知，求．18.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；写出函数的解析式和值域．19.已知全集，集合，，．求，；若“”为“”的充分不必要条件，求a的取值范围．320.已知函数，．判断函数在区间上的单调性，并给出证明；求该函数的最大值和最小值．21.设函数．Ⅰ若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围；Ⅱ在的条件下，当m取最大值时，设，且，求的最小值．22.设函数，是定义域为R的奇函数．确定k的值；若，函数，，求的最小值；若，是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．4答案和解析1.【答案】C【解析】解：0，1，，，．故选：C．进行交集的运算即可．本题考查了列举法、描述法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：A、定义域是，不关于原点对称，不具有奇偶性．B通过验证过这两个点，又定义域为R，且．C不过．，是奇函数，不满足偶函数的条件．故选：B．A先看定义域是，不关于原点对称，不是偶函数．B验证是否过这两个点，再看与的关系．C验证是否过这两个点，再看与的关系．D验证是否过这两个点，再看与的关系．本题主要考查点是否在曲线，即点的坐标是否适合曲线的方程以及函数的奇偶性，要先看定义域，再看与x的函数值间的关系．3.【答案】B【解析】解：，，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数．故选：B．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．本题主要考查同一函数的判断，结合函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，比较基础．4.【答案】D【解析】解：要使函数有意义，则，得，得，即或，即函数的定义域为，故选：D．根据函数成立的条件进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键．比较基础．5.【答案】B【解析】解：函数，，，，5所以函数的值域为；，故选：B．根据不等式的性质求解：，，，得出值域．本题考查了不等式性质在求函数值域中的应用，属于容易题．6.【答案】C【解析】解：若，则函数为增函数，此时，C，D不成立，，则A，B不成立，若，则函数为减函数，此时A，B不成立，，则D不成立，故C有可能，故选：C．讨论和，结合函数的单调性和定点范围利用排除法进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性和是否对应，结合排除法是解决本题的关键．比较基础．7.【答案】D【解析】解：函数中，令，解得，，所以的图象恒过点；对于A，时，，函数图象过点A；对于B，时，，函数图象过点A；对于C，时，，函数图象过点A；对于D，时，，函数图象不过点A．故选：D．令求得图象恒过点A的坐标，再验证选项中的函数是否过点A．本题考查了指数函数恒过定点的问题，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由，得，；反之，由，得．“”是“”的充分不必要条件．故选：A．由，得，可得；反之，由，不一定得到，当时，，然后结合充分必要条件的判定得答案．本题考查不等式的基本性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．9.【答案】A【解析】解：由知，是定义在上的增函数，则不等式得，，故选：A．先研究幂函数的定义域和单调性，再把函数单调性的定义和定义域相结合即可．本题考查了函数的单调性的应用，是基础题，本题易错点是不考虑定义域．10.【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义域是全体实数，得到恒成立，注意对m进行讨论，当时，利用二次函数的性质求解，然后综合即可得到结论．本题主要考查函数恒成立，结合一元二次不等式的性质是解决本题的关键．【解答】解：若函数的定义域是一切实数，则等价为恒成立，6若，则不等式等价为，满足条件，若，则满足，即，解得，综上，故选：D．11.【答案】D【解析】解：若函数在R上为减函数，则，即，解得，即实数a的取值范围是，故选：D．根据分段函数单调性的性质进行求解即可．本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质是解决本题的关键．12.【答案】A【解析】解：，，时，，不合题意，时，只需，即在恒成立，故，故a的范围是，故选：A．求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．13.【答案】3【解析】解：函数，．故答案为：3．推导出函数，，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质的应用，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】1【解析】解：，，，则，故答案为：1．由已知可得，从而可求，然后代入即可求解．本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数值，解题的关键是整体思想的应用．15.【答案】【解析】解：当时，设，若，可得，解得；当时，，若，可得，显然无解．故答案为：．利用已知条件分别讨论a的值，求出a的值即可．本题考查分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．716.【答案】【解析】解：若集合，，当，所以：与集合的元素的互异性相矛盾，故舍去，则解得，；故正确．若函数的定义域为，则，解得，所以函数的定义域为；故正确．利用函数的图象，单调递减区间是和；故错误．命题“，”的否定是“，”，故错误．故答案为：直接利用集合的元素的性质，函数的定义域的求法，函数的图象，命题的否定的应用求出结果．本题考查的知识要点：集合的元素的性质的应用，函数的定义域的求法和应用，函数的图象的应用，命题的否定的应用，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题型．17.【答案】解：原式，，，又，．【解析】利用指数幂的运算性质即可得出．利用指数幂的运算性质结合完全平方公式即可得出．本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．18.【答案】解：因为函数为偶函数，故图象关于y轴对称，补出完整函数图象如有图：所以的递增区间是，．设，则，所以，因为是定义在R上的偶函数，所以，所以时，，故的解析式为值域为【解析】因为函数为偶函数，故图象关于y轴对称，由此补出完整函数的图象即可，再由图象直接可写出的增区间．可由图象利用待定系数法求出时的解析式，也可利用偶函数求解析式，值域可从图形直接观察得到．本题考查分段函数求解析式、作图，同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质．19.【答案】解：集合，，或，“”为“”的充分不必要条件，，，解得，故a的取值范围是．【解析】根据集合运算定义进行计算即可；由“”为“”的充分不必要条件，得集合，求出a的取值范围即可．本题考查了集合的运算，集合与充分必要条件的转化关系，属于基础题．20.【答案】解：函数在上单调递增．证明：设任意，，满足．，，，，．，即在上为增函数．；8．【解析】函数在上单调递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论；运用在上单调递增，计算即可得到最值．本题考查函数的单调性的判断和证明，考查函数的最值的求法，注意运用单调性，属于基础题．21.【答案】解：Ⅰ函数的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线，故函数在上单调递减，当时，函数取最小值，若不等式对任意恒成立，则；Ⅱ由得：，即，即由，故即的最小值为．【解析】分析函数在上的单调性，进而求出函数的最小值，可得实数m的取值范围；Ⅱ由得：，即，利用基本不等式，可得的最小值．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．22.【答案】解：是定义域为R的奇函数，，代入可得．由得，是定义域为R的奇函数，设，，且，当时，，当时，在定义域R上单调递增．当时，，即，解得或舍去则，当，令，，当时，．由题意得，，，在恒成立，，当时，，，令，t在上单调递减，则，即故得所有的正整数的取值为2，3，4，．【解析】根据定义域为R的奇函数有，代入可得；根据知和，函数解析式，可得，在求解的最小值；由题意得，可得，在恒成立，换元思想，即可求解的范围，求出所有的正整数；9本题主要考查了函数恒成立问题的求解，以及转化思想的应用，二次函数的最值以及单调性的应用．