2019-2020学年高中数学 第三章 统计案例章末复习讲义 新人教A版选修2-3

-1-第三章统计案例知识系统整合规律方法收藏1．两个基本思想(1)回归分析的基本思想回归分析包括线性回归分析和非线性回归分析两种，而非线性回归分析往往可以通过变量代换转化为线性回归分析，因此，回归分析的思想主要是指线性回归分析的思想．注意理解以下几点：①确定线性相关关系线性相关关系有两层含义：一是具有相关关系，如广告费用与销售量的关系等在一定条件下具有相关关系，而气球的体积与半径的关系是函数关系，而不是相关关系；二是具有线性相关关系．判断是否线性相关的依据是样本点的散点图．②引起预报误差的因素对于线性回归模型y＝bx＋a＋e，引起预报变量y的误差的因素有两个：一个是解释变量-2-x，另一个是随机误差e.③回归方程的预报精度判断回归方程的预报精度是通过计算残差平方和来进行的，残差平方和越小，方程的预报精度越高．简单来说，线性回归分析就是通过建立回归直线方程对变量进行预报，用回归方程预报时，需对函数值明确理解，它表示当x取值时，真实值在函数值附近或平均值在函数值附近，不能认为就是真实值．④回归模型的拟合效果判断回归模型的拟合效果的过程也叫残差分析，残差分析的方法有两种，一是通过残差图直观判断，二是通过计算相关指数R2的大小判断．(2)独立性检验的基本思想独立性检验的基本思想类似于反证法．要确认两个分类变量有关系的可信程度，先假设两个分类变量没有关系，再计算随机变量K2的观测值，最后由K2的观测值很大在一定程度上说明两个分类变量有关系．进行独立性检验要注意理解以下三个问题：①独立性检验适用于两个分类变量．②两个分类变量是否有关系的直观判断：一是根据2×2列联表计算|ad－bc|，值越大关系越强；二是观察等高条形图，两个深色条的高度相差越大关系越强．③独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．独立性检验的结论只能是有多大的把握确认两个分类变量有关系，而不能是两个分类变量一定有关系或没有关系．2．两个重要参数(1)相关指数R2相关指数R2是用来刻画回归模型的回归效果的，其值越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好．(2)随机变量K2随机变量K2是用来判断两个分类变量在多大程度上相关的变量．独立性检验就是通过计算K2的观测值，并与教材中所给表格中的数值进行比较，从而得到两个分类变量在多大程度上相关．3．两种重要图形(1)散点图散点图是进行线性回归分析的主要手段，其作用如下：一是判断两个变量是否具有线性相关关系，如果样本点呈条状分布，那么可以断定两个-3-变量有较好的线性相关关系；二是判断样本中是否存在异常．(2)残差图残差图可以用来判断模型的拟合效果，其作用如下：一是判断模型的精度，残差点所分布的带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．二是确认样本点在采集过程中是否有人为的错误．学科思想培优一线性回归分析对所抽取的样本的数据进行分析，分析两个变量之间的关系——线性关系或非线性关系，并由一个变量的变化去推测另一个变量的变化，这就是对样本进行回归分析．回归分析的过程就是建立回归模型的过程．具体步骤是：①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；②画出散点图，观察它们是线性相关的，还是符合哪一种函数模型；③由经验确定回归方程的类型(如线性回归方程，反比例函数模型，指数函数模型，对数函数模型等)；④用最小二乘法求回归方程的参数；⑤检查回归模型的拟合程度，如分析残差图，求相关指数R2等．例1一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下表：零件数x/个102030405060708090100加工时间y/min627275818595103108112127(1)画出散点图，并初步判断是否线性相关；(2)若线性相关，求回归直线方程；(3)求出相关指数；(4)作出残差图；(5)进行残差分析．[解](1)散点图，如图所示．-4-由图可知，x，y线性相关．(2)x与y的关系可以用线性回归模型来拟合，不妨设回归模型为y^＝a^＋b^x.将数据代入相应公式可得数据表：-5-∴x－＝55，y－＝92，∴b^＝∑10i＝1xiyi－10x－y－∑10i＝1x2i－10x－2＝e0.272x－3.849≈1131.拓展提升通过取对数的方法把非线性回归问题转化成线性回归问题，起到化难为易的效果．-6-