2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理讲义 新

-1-1．3.1二项式定理知识点二项式定理及其相关概念1．二项式定理二项展开式：(a＋b)n＝□01C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)叫做二项式定理，其中各项的系数□02Ckn(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．特别地，(1＋x)n＝□031＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cknxk＋…＋Cnnxn(n∈N*)．结构特点：(1)各项的次数都□04等于二项式的幂指数n；(2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n；(3)共有□05n＋1项．2．二项展开式的通项(a＋b)n的二项展开式中的第k＋1项□06Cknan－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝□07Cknan－kbk.(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)1．注意区分项的二项式系数与系数的概念二项展开式的第r＋1项的二项式系数是Crn，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第r＋1项的系数则是二项式系数Crn与数字系数的积，可能为负数．如(2x＋1)5展开式中的第二项的二项式系数是C15，而第二项的系数则是C15·24.注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数．2．要牢记Cknan－kbk是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()(2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．()(3)Cknan－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做-2-(1)x－1x16的二项展开式中第4项是________．(2)展开1＋1x4为________．(3)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．答案(1)－560x10(2)1＋4x＋6x2＋4x3＋1x4(3)10解析(1)展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr16·x16－r·－1xr＝(－1)r·Cr16·x16－2r，所以第4项为T4＝(－1)3C316·x10＝－C316x10＝－560x10.(2)1＋1x4＝1＋C141x＋C241x2＋C341x3＋1x4＝1＋4x＋6x2＋4x3＋1x4.(3)T4＝C35x2y3含x2y3的项的系数是C35＝10.探究1＝1，因此所求系数为180－1＝179.