2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 章末复习教学案 新人教A版必修第一册

-1-第5章三角函数知识系统整合规律方法收藏1．在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2kπ＋30°，k∈Z，这种表示法不正确．2．任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函数符号的含义，sinα-2-＝yr≠sin×α；诱导公式的记忆要结合三角函数的定义去记忆．3．同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1及sinαcosα＝tanα，必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函数的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，能灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值时，要注意根式前面的符号的确定．4．三角函数的诱导公式诱导公式一至六不仅要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要能灵活地运用．(1)－α角的三角函数是把负角转化为正角；(2)2kπ＋α(k∈Z)角的三角函数是化任意角为[0,2π)内的角；(3)π2±α，π±α，3π2±α，2π－α角的三角函数是化非锐角为锐角；(4)化负为正→化大为小→化为锐角；(5)记忆规律：奇变偶同，象限定号．5．正弦函数、余弦函数的图象与性质(1)五点法作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要用弧度制，作出的图象要正规．(2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重要性质，f(x＋T)＝f(x)应强调的是自变量x本身加常数才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，T不是f(2x)的周期．解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单调性法则，更要注意定义域．6．使用本章公式时，应注意公式的正用、逆用以及变形应用．如两角和与差的正切公式tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ，其变形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)应用广泛；公式cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α的变形公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2常用来升幂或降幂．7．函数y＝Asin(ωx＋φ)主要掌握由函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的平移、伸缩等变换．注意各种变换对图象的影响，注意各物理量的意义，A，ω，φ与各种变换的关系．8．三角函数的应用(1)根据图象建立解析式；(2)根据解析式作出图象；(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型；(4)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟．-3-在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方面来考虑．学科思想培优一、三角函数变形的常见方法在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．在本章所涉及的变形中，常用的变形方法有切化弦、弦化切和“1”的代换．1．切化弦当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．[典例1]求证：sinθ(1＋tanθ)＋cosθ1＋1tanθ＝1sinθ＋1cosθ.证明左边＝sinθ1＋sinθcosθ＋cosθ1＋cosθsinθ＝sinθ＋sin2θcosθ＋cosθ＋cos2θsinθ＝sinθ＋cos2θsinθ＋sin2θcosθ＋cosθ＝sin2θ＋cos2θsinθ＋sin2θ＋cos2θcosθ＝1sinθ＋1cosθ＝右边．[典例2]求证：sinα1－cosα·cosαtanα1＋cosα＝1.证明sinα1－cosα·cosαtanα1＋cosα＝sinα1－cosα·cosα·sinαcosα1＋cosα＝sinα1－cosα·sinα1＋cosα＝sin2α1－cos2α＝sin2αsin2α＝1.2．弦化切已知tanα的值，求关于sinα，cosα的齐次分式(sinα，cosα的次数相同)的值，可将求值式变为关于tanα的代数式，此方法亦称为“弦化切”．[典例3]已知tanα＝－43，求下列各式的值：(1)2cosα＋3sinα3cosα＋sinα；(2)2sin2α＋sinαcosα－3cos2α.-4-解(1)∵tanα＝－43，∴2cosα＋3sinα3cosα＋sinα＝2＋3tanα3＋tanα＝2＋3×－433＋－43＝－65.(2)2sin2α＋sinαcosα－3cos2α＝2sin2α＋sinαcosα－3cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α＋tanα－3tan2α＋1＝2×－432＋－43－3－432＋1＝－725.[典例4]已知2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝1，α∈－3π2，－π.求：(1)tanα；(2)2sinα－3cosα4sinα－9cosα.解(1)2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝2cos2α＋3cosαsinα－3sin2αsin2α＋cos2α＝2＋3tanα－3tan2α1＋tan2α，则2＋3tanα－3tan2α1＋tan2α＝1，即4tan2α－3tanα－1＝0.解得tanα＝－14或tanα＝1.∵α∈－3π2，－π，∴α为第二象限角，∴tanα0，∴tanα＝－14.(2)原式＝2sinαcosα－3cosαcosα4sinαcosα－9cosαcosα＝2tanα－34tanα－9＝－2×14－3－4×14－9＝720.3．“1”的代换在三角函数中，有时会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式，常见的代换方法：1＝sin2α＋cos2α等．[典例5]求证：1＋2sinαcosαcos2α－sin2α＝1＋tanα1－tanα.-5-证明左边＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosαcos2α－sin2α＝sinα＋cosα2cosα＋sinαcosα－sinα＝sinα＋cosαcosα－sinα＝tanα＋11－tanα＝右边．∴等式成立．[典例6]已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.证明∵tan2α＝2tan2β＋1，∴tan2α＋1＝2(tan2β＋1)．∴sin2α＋cos2αcos2α＝2·sin2β＋cos2βcos2β.∴1cos2α＝2cos2β.∴cos2β＝2cos2α.∴1－sin2β＝2(1－sin2α)．∴sin2β＝2sin2α－1.二、求三角函数值域与最值的常见类型求三角函数的值域或最值主要依据是利用三角函数的图象或三角函数的有界性，这就要求我们必须掌握好三角函数的图象和性质．1．形如y＝asinx＋b(a≠0)型的函数求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sinx，cosx≤1)求解，注意对a正、负的讨论．[典例7]若y＝asinx＋b的最大值为3，最小值为1，求ab的值．解当a0时，a＋b＝3，－a＋b＝1，解得a＝1，b＝2.当a0时，a＋b＝1，－a＋b＝3，解得a＝－1，b＝2.∴ab＝2或ab＝－2.[典例8]求函数y＝3－4cos2x＋π3，x∈－π3，π6的最大、最小值及相应的x值．解∵x∈－π3，π6，∴2x＋π3∈－π3，2π3，从而－12≤cos2x＋π3≤1.-6-∴当cos2x＋π3＝1即2x＋π3＝0，即x＝－π6时，ymin＝3－4＝－1，当cos2x＋π3＝－12即2x＋π3＝2π3，即x＝π6时，ymax＝3－4×－12＝5.2．形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型的函数求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sinx(或cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性．[典例9]求函数f(x)＝2sin2x＋2sinx－12，x∈π6，5π6的值域．解令t＝sinx，y＝f(x)，∵x∈π6，5π6，∴12≤sinx≤1，即12≤t≤1.∴y＝2t2＋2t－12＝2t＋122－1，∴1≤y≤72，∴函数f(x)的值域为1，72.[典例10]已知|x|≤π4，求函数y＝－sin2x＋sinx＋1的最小值．解令t＝sinx，因为|x|≤π4，所以－22≤sinx≤22，即t∈－22，22，则y＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54，t∈－22，22.根据二次函数的性质可得当t＝－22，即x＝－π4时，y有最小值，为－－22－122＋54＝1－22.三、三角函数的化简在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．最后结果应为：(1)能求值-7-尽量求值；(2)三角函数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)分母、根号下尽量不含三角函数．[典例11]化简：2sin130°＋sin100°1＋3tan370°1＋cos10°.解原式＝2sin50°＋sin80°1＋3tan10°1＋cos10°＝2sin50°＋cos10°×cos10°＋3sin10°cos10°2cos25°＝2sin50°＋212cos10°＋32sin10°2|cos5°|＝2sin50°＋2sin30°＋10°2cos5°＝2[sin45°＋5°＋sin45°－5°]2cos5°＝2sin45°cos5°＋cos45°sin5°＋sin45°cos5°－cos45°sin5°2cos5°＝4sin45°cos5°2cos5°＝2.四、三角函数求值三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．[典例12]已知cosα－β2＝－277，sinα2－β＝12，且α∈π2，π，β∈0，π2，求：(1)cosα＋β2；(2)tan(α＋β)．-8-解(1)∵π2απ，0βπ2，∴π4α－β2π，－π4α2－βπ2，∴sinα－β2＝1－cos2α－β2＝217，cosα2－β＝1－sin2α2－β＝32，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－277×32＋217×12＝－2114.(2)∵π4α＋β23π4，∴sinα＋β2＝1－cos2α＋β2＝5714.∴tanα＋β2＝sinα＋β2cosα＋β2＝－533.∴tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan2α＋β2＝5311.