2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程

-1-2.1.2求曲线的方程求曲线方程的一般步骤1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线方程也不一样．()(2)化简方程“|x|＝|y|”为“y＝x”是恒等变形．()(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验．()答案(1)√(2)×(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)在平面直角坐标系内，到原点距离为2的点M的轨迹方程是________．(2)直角坐标平面xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP→·OA→＝4，则点P的轨迹方程是________________________________________________________．(3)已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是_________________________________________________________________．答案(1)x2＋y2＝4(2)x＋2y－4＝0(3)8x2＋2x＋8y2－4y－5＝0-2-探究1直接法求曲线方程例1A为定点，线段BC在定直线l上滑动．已知|BC|＝4，A到l的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程．[解]解法一(直接法)：建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，A点在y轴上(如图所示)，则A(0,3)．设外心P(x，y)，∵P在BC的垂直平分线上，∴B(x＋2,0)，C(x－2,0)．∵P也在AB的垂直平分线上，∴|PA|＝|PB|，即x2＋y－32＝22＋y2.化简，得x2－6y＋5＝0.这就是所求的轨迹方程．解法二(参数法)：建立坐标系，得A(0,3)．设BC边的垂直平分线的方程为x＝t，①则点B的坐标为(t＋2,0)，于是AB的中点是t＋22，32.从而AB的垂直平分线方程为y－32＝t＋23x－t＋22.②由①②式消去t，得x2－6y＋5＝0，即为所求．拓展提升求曲线方程分直接法和间接法，直接法的步骤如下：①建立适当坐标系；②设出动点坐标M(x，y)；③写出动点M满足的条件等式；④将条件等式坐标化；⑤验证满足所求方程的点是否均在曲线上．【跟踪训练1】已知在直角三角形ABC中，∠C为直角，点A(－1,0)，点B(1,0)，求满足条件的点C的轨迹方程．-3-解如图，设C(x，y)，则AC→＝(x＋1，y)，BC→＝(x－1，y)．∵∠C为直角，∴AC→⊥BC→，即AC→·BC→＝0.∴(x＋1)(x－1)＋y2＝0，化简得x2＋y2＝1.∵A，B，C三点要构成三角形，∴A，B，C三点不共线，∴y≠0.∴点C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．探究2定义法求曲线方程例2已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．[解]如图，设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ.设M为OC的中点，则M的坐标为12，0.∵∠OPC＝90°，∴动点P在以点M12，0为圆心，OC为直径的圆上，由圆的方程得x－122＋y2＝14(0x≤1)．拓展提升如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征．-4-【跟踪训练2】已知定长为6的线段，其端点A，B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程．解作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知|OM|＝12|AB|＝3.所以M的轨迹是以原点O为圆心，以3为半径的圆，故点M的轨迹方程为x2＋y2＝9.探究3相关点法(代入法)求曲线的方程例3已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．[解]设△ABC的重心为G(x，y)，顶点C的坐标为(x1，y1)．由重心坐标公式得x＝－2＋0＋x13，y＝0－2＋y13，所以x1＝3x＋2，y1＝3y＋2.代入y1＝3x21－1，得3y＋2＝3(3x＋2)2－1，所以y＝9x2＋12x＋3即为所求轨迹方程．拓展提升代入法的定义及解题步骤(1)定义若动点P依赖于已知曲线上的动点M，借助于动点M求动点P的轨迹方程的方法通常叫代入法，又叫相关点法(动点M叫相关动点)．(2)求解步骤①设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)；②利用条件求出两动点坐标之间的关系-5-x0＝fx，y，y0＝gx，y；③代入相关动点的轨迹方程；④化简、整理，得所求轨迹方程．其步骤可总结为“一设二找三代四整理”．【跟踪训练3】动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹．解设动点P(x，y)，M(x0，y0)．因为P为MB的中点，且B(3,0)，所以x＝x0＋32，y＝y02，则x0＝2x－3，y0＝2y.又因为M在曲线x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1，所以x－322＋y2＝14.因此点P的轨迹是以32，0为圆心，12为半径的圆．1.求解曲线方程的步骤(1)第一步在具体问题中有两种情况：①所研究的问题中已给定了坐标系，直接在给定的坐标系中求方程；②原题中没有确定的坐标系，需先建立适当的坐标系，选取特殊点为原点.(2)第二步是求方程最重要的一步，要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住曲线上任意点满足的等量关系，列出几何关系式，但在具体解题的过程中经常不出现这一步(被省略).(3)第三步将几何关系式转化为代数中的方程.(4)化简过程中，注意运算的合理性与准确性，避免增解与漏解，第五步从理论上讲很有必要，但在没有特殊情况的时候，常省略，有特殊情况时则不能省，可以说是对第四步的完善.2.很多时候在求出曲线方程后，第五步直接省略了，没将特殊情况进行说明，该剔除的没剔除，该补充的没补充，因此出现错误.-6-1．若点M到两坐标轴的距离的积为2019，则点M的轨迹方程是()A．xy＝2019B．xy＝－2019C．xy＝±2019D．xy＝±2019(x0)答案C解析设M(x，y)，则由题意知|x|·|y|＝2019，所以xy＝±2019.2．下列各点中，在曲线x2－xy＋2y＋1＝0上的点是()A．(2，－2)B．(4，－3)C．(3,10)D．(－2,5)答案C解析依次把四个选项代入x2－xy＋2y＋1，当x＝3，y＝10时，x2－xy＋2y＋1＝0.故选C.3．平面内有两定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA→＋PB→|＝4，则点P的轨迹是()A．线段B．半圆C．圆D．直线答案C解析以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)．设P(x，y)，则PA→＋PB→＝2PO→＝2(－x，－y)．所以x2＋y2＝4.4．若动点P在曲线y＝2x2＋1上移动，连接点P与点Q(0，－1)，则线段PQ中点的轨迹方程是________．答案y＝4x2解析设P(x1，y1)，线段PQ中点为M(x，y)，因为Q(0，－1)，所以x＝x12，y＝y1－12，所以x1＝2x，y1＝2y＋1.因为P(x1，y1)在曲线y＝2x2＋1上，所以y1＝2x21＋1，所以2y＋1＝2(2x)2＋1，化简为y＝4x2，所以线段PQ中点的轨迹方程为y＝4x2.5．设P为y＝x2＋1上的一动点，A(0，－3)，AQ→＝13AP→，求点Q的轨迹方程．解设Q(x，y)，P(x1，y1)，∵AQ→＝13AP→，∴x＝13x1，y＋3＝13y1＋3，得x1＝3x，y1＝3y＋6，又(x1，y1)在y＝x2＋1上，-7-∴3y＋6＝(3x)2＋1＝9x2＋1，∴y＝3x2－53即为所求的轨迹方程．