2019-2020学年新教材高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 3.2.1

-1-第1课时函数的单调性(教师独具内容)课程标准：1.理解函数的单调性和单调区间的概念.2.会划分函数的单调区间，判断函数的单调性，会用符号语言表达函数的单调性.3.会用定义证明函数的单调性．教学重点：1.函数单调性的定义及其几何特征.2.用定义证明函数的单调性．教学难点：用定义证明函数的单调性.【知识导学】知识点一函数的单调性及其符号表达(1)函数单调性的概念□01函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性．(2)函数单调性的符号表达一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果□02∀x1，x2∈D，当x1x2时，都有□03f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调□04递增．如果□05∀x1，x2∈D，当x1x2时，都有□06f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调□07递减．知识点二增函数、减函数当函数f(x)在它的□01定义域上□02单调递增时，我们就称它是增函数(increasingfunction)．当函数f(x)在它的□03定义域上□04单调递减时，我们就称它是减函数(decreasingfunction)．知识点三单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上□01单调递增或□02单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)□03单调性，□04区间D叫做y＝f(x)的单调区间．【新知拓展】1．单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求：(1)属于同一个区间D；(2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替；(3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1x2.-2-2．并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝1，x是偶数，0，x是奇数，它的定义域为N，但不具有单调性．3．单调区间(1)这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增，y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减；(2)这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性．5．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝1x(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．6．函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点．7．图象变换对单调性的影响(1)上下平移不影响单调区间，即y＝f(x)和y＝f(x)＋b的单调区间相同．(2)左右平移影响单调区间．如y＝x2的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x＋1)2的单调递减区间为(－∞，－1]．(3)y＝k·f(x)，当k0时单调区间与f(x)相同，当k0时单调区间与f(x)相反．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有函数在定义域上都具有单调性．()(2)函数单调递增(减)定义中的“∀x1，x2∈D”可以改为“∃x1，x2∈D”．()(3)若区间D是函数f(x)的一个单调递增区间，且x1，x2∈D，若x1x2，则f(x1)f(x2)；反之也成立．()(4)设D是函数f(x)定义域内的某个区间，若∃x1，x2∈D，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，则f(x)在区间D上不单调递增．()(5)对于二次函数y＝x2－2x＋3，它在(－∞，0]上单调递减，所以它的单调递减区间是(－-3-∞，0]．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知函数f(x)＝x的图象如图1所示，从左至右图象是上升的还是下降的：________.(2)已知函数y＝f(x)的图象如图2所示，则该函数的单调递增区间是________，单调递减区间是________．(3)下列函数f(x)中，满足∀x1，x2∈(0，＋∞)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)的是________．①f(x)＝x2；②f(x)＝1x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝2x＋1.答案(1)上升的(2)(－∞，－1]，(1，＋∞)[－1,1](3)②题型一证明或判断函数的单调性例1证明：函数f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上单调递增．[证明]∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4x2－x1x1x2＝x1－x2x1x2－4x1x2.∵2x1x2，∴x1－x20，x1x24，x1x2－40.∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．∴函数f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上单调递增．金版点睛定义法证明单调性的步骤判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．利用定义法判断函数的单调性的步骤为：-4-注意：对单调递增的判断，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，也可以用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0或fx1－fx2x1－x20.对单调递减的判断，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0或fx1－fx2x1－x20.[跟踪训练1]利用单调性的定义判断函数f(x)＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上的单调性．解∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋2x1＋1－x2＋2x2＋1＝x2－x1x1＋1x2＋1.∵－1x1x2，∴x2－x10，x1＋10，x2＋10.∴x2－x1x1＋1x2＋10，即f(x1)－f(x2)0，f(x1)f(x2)．∴f(x)＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上单调递减.题型二求单调区间例2(1)求函数y＝|x2＋2x－3|的单调递增区间与单调递减区间；(2)作出函数f(x)＝x2－6x＋9＋x2＋6x＋9的图象，并指出其单调区间．[解](1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.作出f(x)的图象，保留其在x轴上及其上方部分，将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方，得到y＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．由图象，得原函数的单调递增区间是[－3，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－3]和[－1，1]．(2)函数f(x)可化为：-5-f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝－2x，x≤－3，6，－3x≤3，2x，x3.作出函数f(x)的图象如图所示．由图象知函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)．其中，单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[3，＋∞)．金版点睛常用画图象求单调区间(1)对于函数y＝kx＋bk≠0，y＝ax2＋bx＋ca≠0，y＝kxk≠0单调区间的确定，常借助于函数图象直接写出．(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性(区间)．(3)函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域．[跟踪训练2](1)根据下图说出函数的单调递增区间与单调递减区间；(2)写出f(x)＝|x2－2x－3|的单调区间．解(1)函数的单调递增区间是[0,2]，[4,5]，函数的单调递减区间是[－1,0]，[2,4]．(2)先画出f(x)＝x2－2x－3，x－1或x3，－x2－2x－3，－1≤x≤3的图象，如图．-6-所以f(x)＝|x2－2x－3|的单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞).题型三抽象函数的单调性例3设f(x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x0时，0f(x)1.求证：(1)f(0)＝1；(2)∀x∈R，恒有f(x)0；(3)f(x)是减函数．[证明](1)根据题意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)．∵f(n)≠0，∴f(0)＝1.(2)由题意知x0时，0f(x)1，当x＝0时，f(0)＝10，当x0时，－x0，∴0f(－x)1.∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)，∴f(x)·f(－x)＝1，∴f(x)＝1f－x0.∴∀x∈R，恒有f(x)0.(3)∀x1，x2∈R，且x1x2，则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，∴f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]．由(2)知f(x1)0，又x2－x10，∴0f(x2－x1)1，故f(x2)－f(x1)0，∴f(x)是减函数．金版点睛抽象函数单调性的判断方法这里的抽象函数一般由方程(不等式)确定，解决这类函数的单调性问题通常有两种方法．一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是“赋值”，-7-给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试．注意：若给出的是和型(f(x＋y)＝…)抽象函数，判定符号时的变形为f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f[(x1－x2)＋x2]；若给出的是积型(f(xy)＝…)抽象函数，判定符号时的变形为f(x2)－f(x1)＝fx1·x2x1－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－fx2·x1x2.[跟踪训练3]已知函数f(x)，∀x，y∈R，总有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x0时，f(x)0.求证：f(x)为减函数．证明∀x1，x2∈R，且x2x1，则x2－x10，∵当x0时，f(x)0，∴f(x2－x1)0，∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)0，∴f(x)为减函数.题型四复合函数的单调性例4求函数f(x)＝18－2x－x2的单调区间．[解]易知函数f(x)的定义域为{x|x－4或－4x2或x2}．令u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9，易知其单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)．∴函数y＝f(x)的单调递增区间是(－1,2)和(2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－4)和(－4，－1]．金版点睛一般地，对于复合函数y＝f[g(x)]，如果t＝g(x)在(a，b)上单调，并且y＝f(t)在(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上也单调，那么y＝f[g(x)]在(a，b)上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”．-8-若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定．若减函数有偶数个，则这个复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则这个复合函数为减函数．判断复合函数y＝f[g(x)]的单调性的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)将复合函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)；(3)分别确定这两个函数的单调性；(4)确定复合函数y＝f[g(x)]的单调性．[跟踪训练4]已知函数f(x)在定义域[0，＋∞)上单调递减，求f(1－x2)的单调递减区间．解∵f(x)的定义域为[0，＋∞)，∴1－x2≥0，即x2≤1，故