2019-2020学年新教材高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次

-1-2.3二次函数与一元二次方程、不等式(教师独具内容)课程标准：1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系.3.熟练掌握一元二次不等式的两种解法.4.能从实际情境中抽象出一元二次不等式，并通过解一元二次不等式解决实际问题．教学重点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.一元二次不等式的解法.3.利用一元二次不等式解决实际问题．教学难点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.【知识导学】知识点一一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有□01一个未知数，并且未知数的□02最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a，b，c均为常数，a≠0)的不等式都是一元二次不等式．知识点二二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的□01零点．知识点三一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的□01集合叫做这个一元二次不等式的□02解集．知识点四二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系-2-知识点五利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的□01字母表示题中的□02未知数；(2)由题中给出的不等关系，列出□03关于未知数的不等式(组)；(3)□04求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的□05实际意义确定答案．【新知拓展】1．解一元二次不等式的方法与步骤(1)解一元二次不等式的常用方法①图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：(ⅰ)化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c0(a0)或ax2＋bx＋c0(a0)；(ⅱ)求方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；-3-(ⅲ)由图象得出不等式的解集．②代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．当mn时，若(x－m)(x－n)0，则可得xn或xm；若(x－m)(x－n)0，则可得mxn.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．(2)含有参数的一元二次型的不等式在解含有参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：①关于不等式类型的讨论：二次项系数a0，a0，a＝0.②关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ0)．③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1x2，x1＝x2，x1x2.2．利用不等式解决实际问题需注意以下四点(1)阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．(2)建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．(3)讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．(4)作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一元二次方程的根就是相应函数的图象与x轴的交点．()(2)(x＋a)(x＋a＋1)0是一元二次不等式．()(3)设二次方程ax2＋bx＋c＝0的两解为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集不可能为{x|x1xx2}．()(4)用不等式解决实际问题最后要结合题目的实际意义确定答案．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)不等式x2－2x＋30的解集为________．(2)不等式－x2－3x＋40的解集为________．-4-(3)当a0时，若ax2＋bx＋c0的解集为R，则Δ应满足的条件为________．(4)已知不等式ax2－bx＋20的解集为{x|1x2}，则a＋b＝________.(5)有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的纯农药液不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．答案(1)R(2){x|－4x1}(3)Δ0(4)4(5)大于8小于等于403题型一不含参数的一元二次不等式的解法例1求下列不等式的解集：(1)2x2＋7x＋30；(2)－x2＋8x－30；(3)x2－4x－5≤0；(4)－4x2＋18x－814≥0；(5)－12x2＋3x－50；(6)－2x2＋3x－20.[解](1)因为Δ＝72－4×2×3＝250，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12，又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为xx－12或x－3.(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝520，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－13，x2＝4＋13，又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－13x4＋13}．(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．(4)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94.(5)原不等式可化为x2－6x＋100，因为Δ＝62－40＝－40，所以原不等式的解集为∅.(6)原不等式可化为2x2－3x＋20，因为Δ＝9－4×2×2＝－70，所以原不等式的解集为R.金版点睛解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．-5-(5)根据图象写出不等式的解集．[跟踪训练1]求下列不等式的解集：(1)x2－3x＋1≤0；(2)3x2＋5x－20；(3)－9x2＋6x－10；(4)x2－4x＋50；(5)2x2＋x＋10.解(1)因为Δ＝9－4＝50，所以方程x2－3x＋1＝0有两个不等实数根x1＝3－52，x2＝3＋52，所以原不等式的解集为{|x3－52≤x≤3＋52.(2)原不等式可化为(3x－1)(x＋2)0，所以原不等式的解集为xx13或x－2.(3)原不等式可化为(3x－1)20，所以原不等式的解集为xx≠13，x∈R.(4)因为Δ＝(－4)2－4×5＝－40，所以原不等式的解集为R.(5)因为Δ＝12－4×2＝－70，所以原不等式的解集为∅.题型二含参数的一元二次不等式的解法例2解关于x的不等式(a∈R)：(1)2x2＋ax＋20；(2)ax2－(a＋1)x＋10.[解](1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论：①当Δ0，即－4a4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R.②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝14(－a－a2－16)，x2＝14(－a＋a2－16)．当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；当a4或a－4时，原不等式的解集为{|xx14(－a－a2－16)或x14(－a＋a2－16)；当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}．(2)若a＝0，原不等式为－x＋10，解得x1；若a0，原不等式可化为x－1a(x－1)0，解得x1a或x1；若a0，原不等式可化为x－1a(x－1)0，(*)其解的情况应由1a与1的大小关系决定，故①当a＝1时，由(*)式可得x∈∅；-6-②当a1时，由(*)式可得1ax1；③当0a1时，由(*)式可得1x1a.综上所述，当a0时，解集为xx1a或x1；当a＝0时，解集为{x|x1}；当0a1时，解集为x1x1a；当a＝1时，解集为∅；当a1时，解集为x1ax1.金版点睛解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[跟踪训练2]解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a30.解原不等式可化为(x－a)(x－a2)0.方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2.由a2－a＝a(a－1)可知：①当a0或a1时，a2a.解原不等式得xa2或xa.②当0a1时，a2a，解原不等式得xa或xa2.③当a＝0时，原不等式为x20，∴x≠0.④当a＝1时，原不等式为(x－1)20，∴x≠1.综上可知：当a0或a1时，原不等式的解集为{x|xa或xa2}；当0a1时，原不等式的解集为{x|xa2或xa}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.题型三“三个二次”之间的转化关系例3若不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|－3x4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b0的解集．[解]因为ax2＋bx＋c0的解集为{x|－3x4}，所以a0且－3和4是方程ax2＋bx＋c-7-＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得－3＋4＝－ba，－3×4＝ca，即b＝－a，c＝－12a.所以不等式bx2＋2ax－c－3b0，即为－ax2＋2ax＋15a0，即x2－2x－150，故所求的不等式的解集为{x|－3x5}．[条件探究]本例中把{x|－3x4}改为{x|x－3或x4}，其他条件不变，则不等式的解集又如何？解因为ax2＋bx＋c0的解集为{x|x－3或x4}，所以a0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得－3＋4＝－ba，－3×4＝ca，即b＝－a，c＝－12a，所以不等式bx2＋2ax－c－3b0，即为－ax2＋2ax＋15a0，即x2－2x－150，解得x－3或x5，故所求不等式的解集为{x|x－3或x5}．金版点睛三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：[跟踪训练3](1)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c0的解集是xx－2或x－12，则ax2－bx＋c0的解集为________；-8-(2)已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－12和2，则不等式ax2＋bx－10的解集为________．答案(1)x12x2(2)x12x1解析(1)由题意－2，－12是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a0，故－2＋－12＝－ba，－2×－12