2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法讲义 新人教A版选修2-2

-1-2.3数学归纳法1．数学归纳法的内容如下：一个□01与正整数有关的命题，如果(1)□02当n取第一个值n0(例如n0＝1或n0＝2等)时结论正确，(2)□03假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，能够证明当n＝k＋1时结论也正确，那么可以断定□04这个命题对n∈N*且n≥n0的所有正整数都成立．2．数学归纳法的步骤中，第一步的作用是□05递推的基础，第二步的作用是□06递推的依据．3．数学归纳法实质上是□07演绎推理法的一种，它是一种□08严格的证明方法，它只能□09证明结论，不能发现结论，并且只能证明□10与正整数相关的命题．4．常把归纳法和数学归纳法结合起来，形成□11归纳—猜想—证明的思想方法，既可以□12发现结论，又能□13给出严格的证明，组成一套完整的数学研究的思想方法．5．用数学归纳法证明命题时，两步□14缺一不可，并且在第二步的推理证明中必须用□15归纳假设，否则不是数学归纳法．对数学归纳法本质的理解数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到“知其然，知其所以然”的效果，可对比以下问题理解数学归纳法的实质．(1)有n个骨牌排成如图所示的一排，现推倒第一张骨牌，会有什么现象？(2)要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？(骨牌的间距不大于骨牌的高度)(3)这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果？(前一张骨牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下)(4)如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？-2-(5)能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？(通过观察和思考，可以得到的结论是：①第一张骨牌被推倒；②若某一张骨牌倒下，则其后面的一张骨牌必定倒下)第一张骨牌被推倒――→利用②第二张骨牌被推倒――→利用②第三张骨牌被推倒――→利用②…运用类比的方法，我们不难将推倒骨牌的原理进行迁移、升华，进而得到数学归纳法证明的步骤：(1)当n＝1时，结论成立；(2)假设当n＝k时结论成立，证明n＝k＋1时结论也必定成立．当n＝1时结论成立――→2当n＝2时结论成立――→2当n＝3时结论成立――→2…1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则f(n)共有________项，f(2)＝________.(2)定义一种运算“*”，对于正整数n，满足以下运算性质：①1].(3)设Sk＝1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k，则Sk＋1＝________(用含Sk的代数式表示)．答案(1)n2－n＋112＋13＋14(2)2×3n－1(3)Sk＋12k＋1－12k＋2探究1(k＋1)2[(k＋1)＋1]2.即当n＝k＋1时，等式也成立．-3-根据①②可知，等式对任意n∈N*都成立.