2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第2课时

1第2课时零点的存在性及其近似值的求法(教师独具内容)课程标准：1.结合具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在定理.2.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解.3.了解用二分法求方程近似解具有一般性．教学重点：二分法求函数零点的步骤．教学难点：二分法求函数零点的原理.【情境导学】(教师独具内容)在一个风雨交加的夜里，从某水库到防洪指挥部的通信光缆发生了故障．这是一条10km长的线路，如何才能迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10km内，大约有200根电线杆，想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理呢？学完本节课的知识你就知道了．【知识导学】知识点一函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是□01连续不断的，并且□02f(a)f(b)0(即□03在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上□04至少有一个零点，即□05∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0.知识点二二分法的概念对于在区间[a，b]上图像连续不断且f(a)f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法．知识点三用二分法求函数零点近似值的一般步骤在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a，b]上的图像是□01连续不断的，且□02f(a)f(b)0)，给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|ε的一般步骤如下：第一步：□03检查|b－a|2ε是否成立，如果成立，取x1＝a＋b2，计算结束；如果不成立，转到第二步．第二步：□04计算区间(a，b)的中点a＋b2对应的函数值，若fa＋b2＝0，取x1＝a＋b2，2计算结束；若fa＋b2≠0，转到第三步．第三步：□05若f(a)fa＋b20，将a＋b2的值赋给b用a＋b2→b表示，下同，回到第一步；否则必有fa＋b2·f(b)0，将a＋b2的值赋给a，回到第一步．这些步骤可用如下所示的框图表示．【新知拓展】1．函数零点存在定理的使用范围(1)此判定定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)f(b)0，但图①中有4个零点，而图②中仅有1个零点．(2)此判定定理是不可逆的，因为f(a)f(b)0⇒函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点不一定推出f(a)f(b)0.如图③，在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)f(b)0.2．函数零点的判定(1)若f(a)f(b)0，函数f(x)在[a，b]上连续且单调，则函数y＝f(x)在(a，b)内只有一个零点．(2)若f(a)f(b)0，函数f(x)在[a，b]上连续且单调，则函数y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点．(3)若f(a)f(b)0，且函数f(x)在[a，b]上不单调，则零点在(a，b)内是否存在不确定．(4)若f(a)f(b)＝0，则a或b是零点．3．关于用二分法求函数零点近似值的一般步骤3在第一步中，初始区间[a，b]的选定一般在两个整数间，且区间长度尽量小，另外f(a)，f(b)的值比较容易计算，且f(a)f(b)0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)f(b)0.()(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．()(3)二分法求出的函数的零点都是近似值．()(4)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若函数f(x)在区间(2,5)上是减函数，且图像是一条连续不断的曲线，f(2)f(5)0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________．(2)用二分法求函数f(x)＝x3－3的零点时，若初始区间为(n，n＋1)，n∈Z，则n＝________.(3)用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,3]上的零点的近似值，验证f(2)f(3)0，取区间[2,3]的中点x1＝2＋32＝2.5，计算得f(2.5)f(3)0，此时零点x0所在的区间是________．答案(1)1(2)1(3)(2,2.5)题型一二分法的适用条件例1下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()[解析]按定义，f(x)在区间[a，b]上是不间断的，且f(a)f(b)0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图像可得B，C，D满足条件，而A不满足，在A中，函数图像经过零点时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.[答案]A金版点睛运用二分法求函数的零点应具备的条件4(1)函数图像在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．[跟踪训练1](1)下列图像中表示的函数能用二分法求零点的是()(2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]上的零点时，需要的条件是()①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)f(b)0；③f(a)f(b)0；④f(a)f(b)≥0.A．①②B．①③C．①④D．②答案(1)C(2)A解析(1)由于只有C中的图像满足连续，且零点左右函数值异号，故只有C能用二分法求零点．(2)由二分法的定义知①②正确.题型二判断函数零点所在的区间例2若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内[解析]∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵abc，∴f(a)0，f(b)0，f(c)0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．[答案]A金版点睛确定函数零点所在区间的方法(1)判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，若连续，看是否存在f(a)f(b)0，若存在，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．5(2)对于连续函数f(x)，若存在f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反过来，若f(a)与f(b)不变号，而是同号，即不满足f(a)f(b)0，也不能说函数无零点，如f(x)＝x2，f(－1)f(1)＝10，但0是f(x)的零点．[跟踪训练2]二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：x－3－2－101234f(x)6m－4－6－6－4n6不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是()A．(－3，－1)和(2,4)B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2)D．(－∞，－3)和(4，＋∞)答案A解析因为f(－3)＝60，f(－1)＝－40，所以在(－3，－1)内必有根．又f(2)＝－40，f(4)＝60，所以在(2,4)内必有根.题型三用二分法求函数零点的近似值例3判断函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]上有无零点，如果有，求出一个零点的近似值(精确度小于0.1)．[解]因为f(1)＝－10，f(1.5)＝0.8750，且函数f(x)＝x3－x－1的图像是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：零点所在区间区间中点中点对应的函数值取中点作为近似值时误差不会超过的值(1,1.5)1＋1.52＝1.25f(1.25)≈－0.300.25(1.25，1．5)1.25＋1.52＝1.375f(1.375)≈0．2200.125(1.25，1．375)1.25＋1.3752＝1.3125—0.0625由上表可知，1.3125就是所求函数的一个近似零点，且精确度小于0.1.6金版点睛利用二分法求方程近似解的步骤(1)构造函数，利用图像确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z.(2)利用二分法求出满足小于精确度2倍的方程的根所在的区间M.(3)区间M的中点就是方程的近似解．[跟踪训练3]求33的近似值(精确度小于0.1)．解令33＝x，则x3＝3.令f(x)＝x3－3，则33就是函数f(x)＝x3－3的零点．因为f(1)＝－20，f(2)＝50，所以可取初始区间(1,2)，用二分法计算，列表如下：零点所在区间区间中点中点对应的函数值取中点作为近似值时误差不会超过的值(1,2)1＋22＝1.5f(1.5)＝0．37500.5(1,1.5)1＋1.52＝1.25f(1.25)≈－1.04700.25(1.25，1．5)1.25＋1.52＝1.375f(1.375)≈－0.400.125(1.375，1．5)1.375＋1.52＝1.4375—0.0625由于|1.5－1.4375|＝0.06250.1，所以33的近似值可取为1.4375.1．下列函数不宜用二分法求零点的是()A．f(x)＝x3－1B．f(x)＝x2－3C．f(x)＝x2＋22x＋2D．f(x)＝－x2＋4x－1答案C7解析因为f(x)＝x2＋22x＋2＝(x＋2)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[1,2]答案A解析∵f(－2)＝－30，f(1)＝60，f(－2)·f(1)0，∴可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．3．已知，函数f(x)，g(x)的图像在[－1,3]上都是连续不断的．根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是()x－10123f(x)－0.6773.0115.4325.9807.651g(x)－0.5303.4514.8905.2416.892A．(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)答案B解析令F(x)＝f(x)－g(x)，因为F(－1)＝f(－1)－g(－1)＝－0.677－(－0.530)＝－0.1470，F(0)＝f(0)－g(0)＝3.011－3.451＝－0.440，F(1)＝f(1)－g(1)＝5.432－4.890＝0.5420，F(2)＝f(2)－g(2)＝5.980－5.241＝0.7390，F(3)＝f(3)－g(3)＝7.651－6.892＝0.7590，于是有F(0)·F(1)0.所以F(x)在(0,1)内有零点，即f(x)＝g(x)在(0,1)内有实数解．故选B.4．定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x0时，y＝f(x)是单调递增的，且f(1)f(2)0，则函数f(x)的零点个数是________．答案2解析由已知可知，存在x0∈(1,2)，使f(x0)＝0，又函数f(x)为偶函数，所以存在x0′∈(－2，－1)，使f(x0′)＝0，且x0′＝－x0.故函数f(x)的零点个数是2.5．求函数f(x)＝x2－8的正无理零点的近似值(精确度小于0.1)．解由题意只需求出函数f(x)＝x2－8的正零点即可，由于f(2)＝－40，f(3)＝10，故取区间(2,3)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：8零点所在区间区间中点中点对应的函数值取中点作为近似值时误差不会超过的值(2,3)2＋32＝2.5f(2.5)＝－1.7500.5(2.5,3)2.5＋32＝2.75f(2.75)＝－0.437500.25(2.75，3)2.75＋32＝2.875f(2.875)≈