2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 1.3 两条直线的位置关系学案 北师大版必修2

11.3两条直线的位置关系[学习目标]1.能通过两条直线的斜率判定两直线平行或垂直．2.能将直线的平行或垂直转化为代数问题.【主干自填】1．两直线平行与斜率的关系(1)对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别是k1，k2，有l1∥l2⇔□01k1＝k2.(2)如果l1，l2的斜率都不存在，并且l1与l2不重合，那么它们都与□02x轴垂直，故l1□03∥l2.2．两直线垂直与斜率的关系(1)如果直线l1，l2的斜率都存在，并且分别为k1，k2，那么l1⊥l2⇔□04k1k2＝－1.(2)如果两直线l1，l2中的一条斜率不存在，另一个是零，那么l1与l2的位置关系是□05l1⊥l2.【即时小测】1．思考下列问题(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是什么？提示：两直线斜率存在且l1与l2不重合．(2)若两条直线平行，斜率一定相等吗？提示：不一定．只有在两条直线的斜率都存在时，斜率相等，若两条直线垂直于x轴，它们平行但斜率不存在．(3)若两条直线垂直，它们斜率之积一定为－1吗？提示：不一定．两条直线垂直，只有在斜率都存在时，斜率之积才为－1.若其中一条直线斜率为0，而另一条直线斜率不存在，两直线垂直，但斜率之积不是－1.2．已知直线l1过A(2,3)和B(－2,6)，直线l2过点C(6,6)和D(10,3)．则l1与l2的位置关系为()A．l1⊥l2B．l1与l2重合C．l1∥l2D．非以上答案提示：C由斜率公式kAB＝6－3－2－2＝－34，kCD＝3－610－6＝－34.∵kAB＝kCD，由已知可知，直线AB与CD不重合．2∴l1∥l2.3．直线l1过A(－1,0)和B(1,2)，l2与l1垂直且l2过点C(1,0)和D(a,1)，则a的值为()A．2B．1C．0D．－1提示：C直线l1的斜率k1＝2－011＝1，∵l1⊥l2，∴l2斜率存在，l2的斜率k2＝1－0a－1＝1a－1，由l1⊥l2，得k1k2＝－1，即1×1a－1＝－1，解得a＝0.4．与直线3x－2y＋1＝0垂直，且过点(1,2)的直线l的方程是________．提示：2x＋3y－8＝0设与3x－2y＋1＝0垂直的直线方程为2x＋3y＋b＝0，将(1,2)代入方程，得b＝－8，∴直线l的方程为2x＋3y－8＝0.例1判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由．(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；(3)l1：x＝2，l2：x＝4；(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.[解](1)将两直线方程分别化为斜截式：l1：y＝－35x＋65；l2：y＝－35x－310.则k1＝－35，b1＝65，k2＝－35，b2＝－310.∵k1＝k2，b1≠b2，∴l1∥l2.(2)将两直线方程分别化为斜截式：l1：y＝12x＋73；l2：y＝－2x＋2.则k1＝12，k2＝－2.∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.(3)由方程知l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两直线在x轴上的截距不相等，则l1∥l2.(4)由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2.3类题通法已知直线方程判断两直线平行或垂直的方法(1)若两直线l1与l2的斜率均存在，当k1·k2＝－1时，l1⊥l2；当k1＝k2，且它们在y轴上的截距不相等时，l1∥l2.(2)若两直线斜率均不存在，且在x轴的截距不相等，则它们平行．30，另一条直线斜率不存在，则它们垂直.[变式训练1]下列说法中，正确的有()①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个答案A解析当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不正确，②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确.例2已知直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，求m的值．[解](1)当m＝0时，l1：x＋2＝0，l2：2x－12y－1＝0，显然l1与l2不平行．(2)当m＝3时，l1：5x＋4＝0，l2：2x－1＝0，l1与l2的斜率均不存在，∴l1∥l2.(3)当m≠0且m≠3时，l1：y＝－m＋2m2－3mx－4m2－3m，l2：y＝－24m－3x＋14m－3.∵l1∥l2，∴－m＋2m2－3m＝－24m－3.解得m＝－4，此时l1：y＝114x－17，l2：y＝114x－128，l1与l2平行但不重合．4综上所述：m＝3或m＝－4.类题通法借助条件求参数的值在应用两条直线平行或垂直求直线方程中的参数时，若能直观判断两条直线的斜率存在，则可直接利用平行或垂直时斜率满足的条件列式求参数；若不能明确两条直线的斜率是否存在，运用斜率解题时要分情况讨论．[变式训练2]已知直线l1：ax－y＋2a＝0与l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，求a的值．解(1)当a≠0时，l1的斜率k1＝a，l2的斜率k2＝－2a－1a.∵l1⊥l2，∴a·－2a－1a＝－1，即a＝1.(2)当a＝0时，直线l1的斜率为0，l2的斜率不存在，两直线垂直．综上所述，a＝0或a＝1为所求.例3已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．[解](1)解法一：利用直线方程的点斜式求解．由l：3x＋4y－20＝0，得kl＝－34.设过点A且平行于l的直线为l1，则kl1＝kl＝－34，所以l1的方程为y－2＝－34(x－2)，即3x＋4y－14＝0.解法二：利用直线系方程求解．设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0.由点A(2,2)在直线l1上，得3×2＋4×2＋m＝0，解得m＝－14.故直线l1的方程为3x＋4y－14＝0.5(2)解法一：设过点A与l垂直的直线为l2.因为klkl2＝－1，所以kl2＝43，故直线l2的方程为y－2＝43(x－2)，即4x－3y－2＝0.解法二：设l2的方程为4x－3y＋n＝0.因为l2经过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋n＝0，解得n＝－2.故l2的方程为4x－3y－2＝0.类题通法利用平行垂直求直线方程常见的方法(1)求经过点A(x0，y0)与直线l：Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程，当l的斜率存在(求垂直直线时，要求斜率不为零)时，可利用直线方程的点斜式求直线方程，也可利用待定系数法根据直线系方程求直线方程．(2)常见直线方程设法①所有与Ax＋By＋C1＝0平行的直线，均可表示为Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)的形式；②所有与Ax＋By＋C1＝0垂直的直线，均可表示为Bx－Ay＋C2＝0的形式．[变式训练3]已知直线l的方程为3x－2y－12＝0，求直线l′的方程，l′满足：(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直．解(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x－2y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式，得m＝9.∴所求直线方程为3x－2y＋9＝0.(2)由l′与l垂直，可设其方程为2x＋3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式，得n＝－7.∴所求直线方程为2x＋3y－7＝0.易错点⊳利用斜率之间的关系判断两直线垂直时，忽略斜率不存在的情况[典例]已知直线m1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线m2经过点M(3，a)，N(6,5)，若m1⊥m2，求a的值．6[错解]设k1，k2分别是直线m1，m2的斜率，则m1⊥m2⇔k1·k2＝－1，k1＝3－aa－5，k2＝a－5－3，即3－aa－5·a－5－3＝－1，解得a＝0.[错因分析]错解中忽略了利用斜率间关系判断两条直线的位置关系的前提条件：两条直线的斜率存在且都不为0.[正解]由题意可知直线m2的斜率一定存在，直线m1的斜率可能不存在．①当直线m1的斜率不存在时，a＝5，此时直线m2的斜率k2＝0，所以两直线垂直．②当直线m1的斜率存在时，a≠5，m1⊥m2⇔k1·k2＝－1，即3－aa－5·a－5－3＝－1，解得a＝0.综上，当m1⊥m2时，a的值为0或5.课堂小结1.两直线平行或垂直的判定方法.斜率直线斜率均不存在平行或重合斜率均存在相等且不重合平行积为－1垂直2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想.1．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝()A．－3B．3C．－13D.13答案B解析因为直线l∥AB，所以k＝kAB＝3－03－2＝3.2．已知直线l1的斜率为0，且l1⊥l2，则l2的倾斜角为()A．0°B．135°C．90°D．180°答案C解析∵kl1＝0且l1⊥l2，∴kl2不存在，直线l2的倾斜角为90°.3．过点(3，6)，(0,3)的直线与过点(6，2)，(2,0)的直线的位置关系为()A．垂直B．平行7C．重合D．以上都不正确答案A解析过点(3，6)，(0,3)的直线的斜率k1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2,0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．4．一条光线从A(3,2)发出，到x轴上的M点后，经x轴反射通过点B(－1,6)，则反射光线所在直线的斜率为________．答案－2解析如图所示，作A点关于x轴的对称点A′，所以点A′在直线MB上．由对称性可知A′(3，－2)，所以光线MB所在直线的斜率为kA′B＝62－1－3＝－2.故反射光线所在直线的斜率为－2.