2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.1 等式 2.1.3 方程组的解集学

12.1.3方程组的解集(教师独具内容)课程标准：1.梳理二元一次方程组，掌握二元二次方程组、三元一次方程组的解集的概念.2.会求解二元二次方程组、三元一次方程组的解集．教学重点：二元二次方程组、三元一次方程组的解法．教学难点：二元二次方程组、三元一次方程组的解法.【情境导学】(教师独具内容)小亮求得方程组2x＋y＝●，2x－y＝12的解集为{(x，y)|(5，★)}，由于不小心滴上了墨水，刚好遮住两个数●和★，你能帮他找回这两个数吗？【知识导学】知识点方程组的解集一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的□01交集称为这个方程组的解集．【新知拓展】求方程组解集的依据还是等式的性质等，常用的方法就是消元法．而解二元二次方程组的关键是根据方程的特征，灵活运用消元降次的方法．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程组x＝3，x＋y＝5的解集是{(3,2)}．()(2)三元一次方程组x＋y＝1，y＋z＝5，z＋x＝6的解集是{(1,0，－1)}．()(3)方程组x＋y＝11，xy＝28的解集是{(4,7)，(7,4)}．()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做2(1)二元一次方程组x－y＝3，3x－8y＝14的解集是()A．{(2，－1)}B．{(－1,2)}C．{(－2,1)}D．{(1，－2)}(2)若x＋2y＋3z＝10,4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值是________．(3)方程组2x－y＝0，x2－y2＋3＝0的解集为________．答案(1)A(2)5(3){(1,2)，(－1，－2)}题型一一次方程组例1求下列方程组的解集：(1)x－2y＝1，x＋3y＝6；(2)x＋y＋z＝26，x－y＝1，2x－y＋z＝18.[解](1)已知x－2y＝1，①x＋3y＝6.②由①得x＝2y＋1，③把③代入②，得2y＋1＋3y＝6，解得y＝1.把y＝1代入③得x＝3，所以原方程组的解为x＝3，y＝1.所以方程组的解集为{(3,1)}．(2)已知x＋y＋z＝26，①x－y＝1，②2x－y＋z＝18.③由方程②，得x＝y＋1，④将方程④分别代入方程①、③，得2y＋z＝25，y＋z＝16.解这个方程组，得y＝9，z＝7.将y的值代入方程④，得x＝10.3所以原方程组的解为x＝10，y＝9，z＝7，即其解集为{(10,9,7)}．金版点睛三元一次方程组比二元一次方程组复杂，能否像二元一次方程组那样，通过逐步减少未知数的个数来求解呢？运用消元的两种方法——代入法和加减法，完全可以达到这个目的.[跟踪训练1]求下列方程组的解集：(1)3x＋2y＝1，2x－3y＝5；(2)4x－3y－z＝16，2x＋2y＋3z＝8，x＋4y＋5z＝3.解(1)已知3x＋2y＝1，①2x－3y＝5，②①×2得6x＋4y＝2，②×3得6x－9y＝15，①×2－②×3得13y＝－13，解得y＝－1，把y＝－1代入①中得，x＝1，所以方程组的解为x＝1，y＝－1，即其解集为{(1，－1)}．(2)已知4x－3y－z＝16，①2x＋2y＋3z＝8，②x＋4y＋5z＝3.③③×2－②，得6y＋7z＝－2，④③×4－①，得19y＋21z＝－4，⑤④与⑤组成方程组6y＋7z＝－2，19y＋21z＝－4，解这个方程组得y＝2，z＝－2，将y＝2，z＝－2代入③，得x＝5，所以原方程组的解为4x＝5，y＝2，z＝－2，即其解集为{(5,2，－2)}.题型二二元二次方程组例2求下列方程组的解集：(1)x＋y＝7，xy＝12；(2)x2＋y2＝1，x＋y－1＝0.[解](1)解法一：已知x＋y＝7，①xy＝12.②由①可得y＝7－x，将其代入②得x(7－x)＝12，解得x1＝3或x2＝4，代入①式可得x1＝3，y1＝4或x2＝4，y2＝3.即其解集为{(3,4)，(4,3)}．解法二：这个方程组的x，y是一元二次方程z2－7z＋12＝0的两个根，解这个方程，得z＝3或z＝4.所以原方程组的解是x1＝4，y1＝3或x2＝3，y2＝4.即其解集为{(3,4)，(4,3)}．(2)已知x2＋y2＝1，①x＋y－1＝0.②由方程②，得y＝1－x，③把方程③代入方程①，得x2＋(1－x)2＝1.整理，得x2－x＝0.解得x1＝0，x2＝1.把x＝0代入方程③，得y＝1；把x＝1代入方程③，得y＝0.原方程组的解是x1＝0，y1＝1或x2＝1，y2＝0.即其解集为{(0,1)，(1,0)}．金版点睛二元二次方程组也可如一次方程组那样使用代入法和加减消元法求解，同时要注意在求解一元二次方程时，可先用判别式判断方程是否有解，若有解再代入求解另外未知数，从而5求得方程组的解.[跟踪训练2]求下列方程组的解集：(1)x＋y＝8，xy＝12；(2)x2＋y2＝10，x2－4xy＋3y2＝0.解(1)已知x＋y＝8，①xy＝12，②解法一：由①得y＝8－x，③把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6.把x1＝2代入③，得y1＝6；把x2＝6代入③，得y2＝2.所以原方程组的解是x1＝2，y1＝6或x2＝6，y2＝2.即其解集为{(2,6)，(6,2)}．解法二：根据根与系数的关系可知，x，y是一元二次方程z2－8z＋12＝0的两个根，解这个方程，得z1＝2，z2＝6.所以原方程组的解是x1＝2，y1＝6或x2＝6，y2＝2.即其解集为{(2,6)，(6,2)}．(2)已知x2＋y2＝10，①x2－4xy＋3y2＝0.②由方程②因式分解，得(x－3y)(x－y)＝0，即x－3y＝0或x－y＝0.所以原方程组可化为两个方程组x2＋y2＝10，x－y＝0或x2＋y2＝10，x－3y＝0.用代入消元法解这两个方程组，得原方程组的解为x1＝5，y1＝5或x2＝－5，y2＝－5或x3＝3，y3＝1或x4＝－3，y4＝－1.即其解集为{(5，5)，(－5，－5)，(3,1)，(－3，－1)}．61．已知x，y满足方程组x－2y＝5，x＋2y＝－3，则x2－4y2的值为()A．15B．－15C．2D．8答案B解析因为x2－4y2＝(x－2y)(x＋2y)，且由已知x－2y＝5，x＋2y＝－3，所以x2－4y2＝5×(－3)＝－15.2．方程组x＋y＝1，4x＋y＝10的解集是()A.x＝3，y＝－2B.x＝－2，y＝3C．{(3，－2)}D．{(－2,3)}答案C解析已知x＋y＝1，①4x＋y＝10，②由②－①，得3x＝9，解得x＝3，把x＝3代入①，得3＋y＝1，解得y＝－2，所以原方程组的解为x＝3，y＝－2.即其解集为{(3，－2)}．3．三元一次方程组x－y＝－1，y－z＝－1，x＋z＝4的解集为()A．{(－2,4,3)}B．{(1,3,2)}C．{(－1,4,3)}D．{(1,2,3)}答案D解析已知x－y＝－1，①y－z＝－1，②x＋z＝4，③由①＋②得x－z＝－2，④由③和④组成一个二元一次方程组x－z＝－2，x＋z＝4，解得x＝1，z＝3，把x＝1代入①得1－y＝－1，7解得y＝2，所以原方程组的解是x＝1，y＝2，z＝3.即其解集为{(1,2,3)}．4．三元一次方程组z＝x＋y，3x－2y－2z＝－5，2x＋y－z＝3的解集为()A．{(3,2,5)}B．{(－5,2,5)}C．{(3,2，－5)}D．{(3,1，－1)}答案A解析已知z＝x＋y，①3x－2y－2z＝－5，②2x＋y－z＝3，③把①代入②得x－4y＝－5；④把①代入③得x＝3，把x＝3代入④得y＝2，把x＝3，y＝2代入①得z＝5，所以方程组的解是x＝3，y＝2，z＝5，即其解集为{(3,2,5)}．5．求方程组x2＋xy＝12，xy＋y2＝4的解集．解已知x2＋xy＝12，①xy＋y2＝4，②由①－②×3得x2＋xy－3(xy＋y2)＝0，即x2－2xy－3y2＝0⇒(x－3y)(x＋y)＝0，所以x－3y＝0或x＋y＝0，所以原方程组可化为两个二元一次方程组x－3y＝0，xy＋y2＝4或x＋y＝0，xy＋y2＝4.用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是x1＝3，y1＝1或x2＝－3，y2＝－1.所求方程组的解集为{(3,1)，(－3，－1)}．8