2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.3 一元二次不等

12.2.3一元二次不等式的解法(教师独具内容)课程标准：1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系.3.熟练掌握一元二次不等式的两种解法．教学重点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.一元二次不等式的解法．教学难点：一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.【情境导学】(教师独具内容)我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步？”若将上述问题改为“阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，直田积(矩形面积)不小于八百六十四(平方步)”，你能求出阔和长的取值范围吗？【知识导学】知识点一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c0的不等式称为□01一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且□02a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是□03“”“≥”“≤”等．【新知拓展】1．代数法将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．当mn时，若(x－m)(x－n)0，则可得xn或xm；若(x－m)(x－n)0，则可得mxn.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．2．含有参数的一元二次型的不等式在解含有参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：①关于不等式类型的讨论：二次项系数a0，a0，a＝0.②关于不等式对应的方程根的讨论：两个不同的实根(Δ0)，两个相同的实根(Δ＝0)，无实根(Δ0)．③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1x2，x1＝x2，x1x2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)2(1)x(x－2)0的解集为(0,2)．()(2)(x＋a)(x＋a＋1)0(a是常数)是一元二次不等式．()(3)不论实数a取什么值，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集一定与相应方程ax2＋bx＋c＝0的解有关．()(4)设二次方程ax2＋bx＋c＝0的两解为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集不可能为{x|x1xx2}．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)不等式x2－2x＋30的解集为________．(2)不等式－x2－3x＋40的解集为________．(3)已知不等式ax2－bx＋20的解集为{x|1x2}，则a＋b＝________.答案(1)R(2){x|－4x1}(3)4题型一不含参数的一元二次不等式的解法例1求下列不等式的解集：(1)2x2＋7x＋30；(2)x2－4x－5≤0；(3)－4x2＋18x－814≥0；(4)－12x2＋3x－50；(5)－2x2＋3x－20.[解](1)方程可变为(2x＋1)(x＋3)0，从而转化为两个不等式组2x＋10，x＋30或2x＋10，x＋30.因此原不等式的解集为(－∞，－3)∪－12，＋∞.(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，因此原不等式的解集为[－1,5]．(3)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94.(4)原不等式可化为x2－6x＋100，即(x－3)2＋10，因此原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x2－3x＋20，即2x－342＋780，因此原不等式的解集为R.金版点睛解不含参数的一元二次不等式的一般步骤3(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则用配方法求解．[跟踪训练1]求下列不等式的解集：(1)3x2＋5x－20；(2)－9x2＋6x－10；(3)x2－4x＋50；(4)2x2＋x＋10.解(1)原不等式可化为(3x－1)(x＋2)0，所以原不等式的解集为(－∞，－2)∪13，＋∞.(2)原不等式可化为(3x－1)20，所以原不等式的解集为－∞，13∪13，＋∞.(3)原不等式可化为(x－2)2＋10，所以原不等式的解集为R.(4)原不等式可化为2x＋142＋780，所以原不等式的解集为∅.题型二含参数的一元二次不等式的解法例2求不等式ax2－(a＋1)x＋10(a∈R)的解集．[解]若a＝0，原不等式为－x＋10，解集为(1，＋∞)；若a0，原不等式可化为x－1a(x－1)0，解集为－∞，1a∪(1，＋∞)；若a0，原不等式可化为x－1a(x－1)0，(*)其解的情况应由1a与1的大小关系决定，故①当a＝1时，由(*)式可得解集为∅；②当a1时，由(*)式可得解集为1a，1；③当0a1时，由(*)式可得解集为1，1a.综上所述，当a0时，解集为－∞，1a∪(1，＋∞)；当a＝0时，解集为(1，＋∞)；当0a1时，解集为1，1a；当a＝1时，解集为∅；当a1时，解集为1a，1.金版点睛解含参数的一元二次不等式的一般步骤4(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)若二次项系数为定值，则按不含参数的步骤解，再根据参数的取值确定解集范围．[跟踪训练2]解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a30.解原不等式可化为(x－a)(x－a2)0.方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2.由a2－a＝a(a－1)可知：①当a0或a1时，a2a.解原不等式得xa2或xa，不等式的解集为(－∞，a)∪(a2，＋∞)．②当0a1时，a2a，解原不等式得xa或xa2，不等式的解集为(－∞，a2)∪(a，＋∞)．③当a＝0时，原不等式为x20，∴x≠0，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(4)当a＝1时，原不等式为(x－1)20，∴x≠1，不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞)．综上可知，当a0或a1时，原不等式的解集为(－∞，a)∪(a2，＋∞)；当0a1时，原不等式的解集为(－∞，a2)∪(a，＋∞)；当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a＝1时，原不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞)．1．在下列不等式中，解集是∅的是()A．x2－3x＋50B．x2＋4x＋40C．x2＋4x－40D．－2＋3x－2x20答案D解析A的解集为R；B的解集是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)；方程x2＋4x－4＝0的Δ＝42＋4×40，故C的解集不为空集，用排除法应选D.2．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)0的实数x的取值范围为()A．(0,2)B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)5答案B解析∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－20，∴x2＋x－20即(x－1)(x＋2)0，解集为(－2,1)．∴选B.3．不等式－0.1x2－5x＋30000的解集为()A．(－∞，－200)B．(150，＋∞)C．(150,200)D．(－200,150)答案D解析原不等式可化为x2＋50x－300000，(x－150)·(x＋200)0，所以不等式的解集为(－200,150)．4．若t2，则关于x的不等式(x－t)x－1t0的解集为()A.1t，tB．(－∞，t)∪1t，＋∞C.－∞，1t∪(t，＋∞)D.t，1t答案A解析∵t2，∴t1t，∴(x－t)x－1t0的解集为1t，t.5．解不等式1x2－3x＋19－x.解由x2－3x＋11得x2－3x0，x(x－3)0，不等式的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞)．由x2－3x＋19－x，得x2－2x－80，(x＋2)(x－4)0，不等式的解集为(－2,4)．(－∞，0)∪(3，＋∞)与(－2,4)的交集为(－2,0)∪(3,4)，所以，原不等式的解集为(－2,0)∪(3,4)．