2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.3 幂函数限时规范训练 新人教A版必

-1-2.3幂函数【基础练习】1．下列函数中是幂函数的是()A．y＝x4＋x2B．y＝10xC．y＝1x3D．y＝x＋1【答案】C【解析】根据幂函数的定义知y＝1x3是幂函数，y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是幂函数．2.下列幂函数中，定义域为R且为偶函数的个数为()①y＝x－2；②y＝x；③y＝x13；④y＝x23.A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】易知②③中的函数是奇函数，①中函数是偶函数，但其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；④中函数符合条件.故选A．3.当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x12，h(x)＝x－2的大小关系是()A．h(x)＜g(x)＜f(x)B．h(x)＜f(x)＜g(x)C．g(x)＜h(x)＜f(x)D．f(x)＜g(x)＜h(x)【答案】D【解析】在同一坐标系中，画出当0＜x＜1时，函数y＝x2，y＝x12，y＝x－2的图象，如图所示.∴当0＜x＜1时，有x－2＞x12＞x2，即f(x)＜g(x)＜h(x).-2-4.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是()A．y＝x－2B．y＝x－1C．y＝x2D．y＝x13【答案】A【解析】由于y＝x－1和y＝x13都是奇函数，故B，D不合题意.又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C不合题意.y＝x－2＝1x2是偶函数且在(0，＋∞)上为减函数，故A满足题意.5.幂函数f(x)的图象过点(3，3)，则f(x)的解析式是________.【答案】f(x)＝x12【解析】设f(x)＝xα，则有3α＝3＝312⇒α＝12.6.设x∈(0,1)时，y＝xp(p∈R)的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________.【答案】(－∞，1)【解析】结合幂函数的图象性质可知p1.7.函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值.【解析】根据幂函数的定义，得m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求.故m＝3.8.已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数.【解析】(1)若f(x)为正比例函数，则m2＋m－1＝1，m2＋2m≠0⇒m＝1.(2)若f(x)为反比例函数，则m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0⇒m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则m2＋m－1＝2，m2＋2m≠0⇒m＝－1±132.-3-(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±2.【能力提升】9.设a＝2535，b＝2525，c＝3525，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．a＜b＜cD．b＞c＞a【答案】C【解析】∵函数y＝25x在R上是减函数，又35＞25，∴2535＜2525，即a＜B．∵函数y＝x25在R上是增函数且35＞25，∴3525＞2525，即c＞B．∴a＜b＜C．10．(2019年吉林长春模拟)已知幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的图象关于y轴对称，则下列选项正确的是()A．f(－2)＞f(1)B．f(－2)＜f(1)C．f(2)＝f(1)D．f(－2)＞f(－1)【答案】B【解析】由于幂函数f(x)＝xn的图象关于y轴对称，可知f(x)＝xn为偶函数，所以n＝－2，即f(x)＝x－2，则有f(－2)＝f(2)＝14，f(－1)＝f(1)＝1，所以f(－2)＜f(1)．11.如图所示的函数F(x)的图象，由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xα“拼接”而成，则aa，aα，αa，αα按由小到大的顺序排列为________.【答案】aα＜αα＜aa＜αa【解析】依题意得a14＝12，14α＝12⇒a＝116，α＝12.所以aa＝116116＝124116，aα＝11612＝1232116，αa＝12116，αα＝1212＝128116，由幂函数y＝x116单调递增知aα＜αα＜aa＜αA．12.已知幂函数f(x)＝xm2－4m(m∈Z)的图象关于y轴对称且在区间(0，＋∞)上为减函数.-4-(1)求m的值和函数f(x)的解析式；(2)解关于x的不等式f(x＋2)f(1－2x).【答案】【解析】(1)幂函数f(x)＝xm2－4m(m∈Z)在区间(0，＋∞)上为减函数，所以m2－4m＜0，解得0＜m＜4.因为m∈Z，所以m＝1,2,3.m＝1时，f(x)＝x－3，其图象不关于y轴对称；m＝2时，f(x)＝x－4，其图象关于y轴对称；m＝3时，f(x)＝x－3，其图象不关于y轴对称.所以m＝2，f(x)＝x－4.(2)不等式f(x＋2)＜f(1－2x)，函数f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上为减函数，所以|1－2x|＜|x＋2|，解得x∈－13，3.又因为1－2x≠0，x＋2≠0，所以x∈－13，12∪12，3.