2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大（小）值 第1课时

-1-第1课时函数的单调性【基础练习】1．下列说法中，正确的有()①若任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，fx1fx2x1－x2＞0，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－1x在定义域上是增函数；④函数y＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】当x1＜x2时，x1－x2＜0，由fx1fx2x1－x2＞0知f(x1)－f(x2)＜0，所以f(x1)＜f(x2)，①正确；②③④均不正确．2．函数y＝f(x)在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是()A．[－2,0]B．[0,1]C．[－2,1]D．[－1,1]【答案】C【解析】由函数图象易知选C．3．下列函数中，在区间(0,1)内是增函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝1xD．y＝－x2＋4【答案】A-2-【解析】(排除法)函数y＝3－x在R上为减函数，函数y＝1x在(0，＋∞)上是减函数，函数y＝－x2＋4在[0，＋∞)上是减函数．4．若f(x)为R上的增函数，kf(x)为R上的减函数，则实数k的取值范围是()A．k为任意实数B．k＞0C．k＜0D．k≤0【答案】C【解析】由函数单调性的定义，设x1，x2是任意实数，x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，且kf(x2)＜kf(x1)，得出f(x1)－f(x2)＜0，k[f(x1)－f(x2)]＞0，则k＜0．5．函数y＝x|x－1|的单调递增区间是________．【答案】－∞，12，[1，＋∞)【解析】画出函数y＝x|x－1|＝x2－x，x≥1，－x2＋x，x1的图象，如图，可得函数的增区间为－∞，12，[1，＋∞)．6．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)的值为________．【答案】－3【解析】f(x)＝2x－m42＋3－m28，由题意m4＝2，∴m＝8．∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3．7．求证：函数f(x)＝－1x－1在区间(－∞，0)上是增函数．【证明】设x1，x2为区间(－∞，0)上的任意两个值，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝－1x1－1－－1x2－1＝1x2－1x1＝x1－x2x1x2．因为x1x20，所以x1－x20，x1x20．所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．故函数f(x)＝－1x－1在区间(－∞，0)上是增函数．8．已知函数f(x)＝－x＋3－3a，x0，－x2＋a，x≥0满足对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－-3-f(x2)]0，求实数a的取值范围．【解析】由对任意的x1，x2∈R且x≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0知函数f(x)在R上为减函数．当x0时，函数f(x)＝－x＋3－3a为一次函数，且为减函数，则此时f(x)f(0)＝3－3a；当x≥0时，函数f(x)＝－x2＋a为二次函数，也为减函数，且有f(x)≤f(0)＝a．要使函数f(x)在R上为减函数，则有a≤3－3a，解得a≤34．【能力提升】9．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A．a＞－14B．a≥－14C．－14≤a＜0D．－14≤a≤0【答案】D【解析】当a＝0时，f(x)＝2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的；当a＞0时，由函数f(x)＝ax2＋2x－3的图象知，不可能在区间(－∞，4)上是单调递增；当a＜0时，只有－22a≥4，即a≥－14满足函数f(x)在区间(－∞，4)上是单调递增的．综上可知实数a的取值范围是－14≤a≤0．10．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，若a，b∈R且a＋b0，则有()A．f(a)＋f(b)－f(a)－f(b)B．f(a)＋f(b)－f(a)－f(b)C．f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)D．f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)【答案】C【解析】∵a＋b0，∴a－b，b－a，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)f(－b)，f(b)f(－a)，∴f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)．11．已知函数f(x)＝3a－1x＋4a，x＜1，－x＋1，x≥1是定义在R上的减函数，那么实数a的取值范围是________．【答案】17，13【解析】要使f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足3个条件：g(x)＝(3a－1)x＋4a在(－∞，1)上为减函数；h(x)＝－x＋1在[1，＋∞)上为减函数；-4-g(1)≥h(1)．∴3a－10，3a－11＋4a≥－1＋1.∴17≤a＜13．12．设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：①f(xy)＝f(x)＋f(y)；②f(2)＝1；③在(0，＋∞)上是增函数．如果f(2)＋f(x－3)≤2，求实数x的取值范围．【解析】∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，令x＝y＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2f(2)，又f(2)＝1，∴f(4)＝2．∵f(2)＋f(x－3)＝f[2(x－3)]＝f(2x－6)，∴f(2)＋f(x－3)≤2可化为f(2x－6)≤2＝f(4)，即f(2x－6)≤f(4)．∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴2x－60，2x－6≤4.解得3x≤5，故x的取值范围为(3,5]．