2019-2020学年新教材高中数学 课后作业23 幂函数 新人教A版必修第一册

1课后作业(二十三)复习巩固一、选择题1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是()[解析]y＝x23＝3x2，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．[答案]D2．设a＝1234，b＝1534，c＝()212，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．cabC．abcD．bca[解析]构造幂函数y＝x34，x0，由该函数在定义域内单调递增，知1ab；又c＝2121，知ac.故cab.[答案]B3．函数y＝x53的图象大致是图中的()[解析]∵函数y＝x53是奇函数，且α＝531，∴函数在R上单调递增．故选B.[答案]B4．若幂函数y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的图象不过原点，且关于原点对称，则()2A．m＝－2B．m＝－1C．m＝－2或m＝－1D．－3≤m≤－1[解析]根据幂函数的概念，得m2＋3m＋3＝1，解得m＝－1或m＝－2.若m＝－1，则y＝x－4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m＝－2，则y＝x－3，其图象不过原点，且关于原点对称．[答案]A5．下列结论中，正确的是()A．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)B．幂函数的图象可以出现在第四象限C．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y＝xα是增函数D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数[解析]当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误．故选C.[答案]C二、填空题6．若y＝axa2－12是幂函数，则该函数的值域是________．[解析]由已知y＝axa2－12是幂函数，得a＝1，所以y＝x12，所以y≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．[答案][0，＋∞)7．函数y＝3xα－2的图象过定点________．[解析]依据幂函数y＝xα性质，x＝1时，y＝1恒成立，所以函数y＝3xα－2中，x＝1时，y＝1恒成立，即过定点(1,1)．[答案](1,1)8．已知当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xα的图象恒在直线y＝x的上方，则α的取值范围是________．[解析]由幂函数的图象特征知α1.[答案](1，＋∞)三、解答题39．已知幂函数y＝f(x)的图象过点2，22，试求出此函数的解析式，判断奇偶性．[解]设y＝xα(α∈R)，∵图象过点2，22，∴2α＝22，α＝－12，∴f(x)＝x－12.∵函数y＝x－12＝1x，定义域为(0，＋∞)，函数为非奇非偶函数．10．已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2x2，x∈Z}，满足：①是区间(0，＋∞)上的增函数；②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足①，②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．[解]因为m∈{x|－2x2，x∈Z}，所以m＝－1,0,1.因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件①而不满足条件②；当m＝1时，f(x)＝x0条件①、②都不满足．当m＝0时，f(x)＝x3条件①、②都满足，且在区间[0,3]上是增函数．所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．综合运用11．已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于()A．0B．1C．2D．3[解析]∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－50(m∈N)，则m＝0或m＝1，当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数，不合题意．当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数，因此m＝1，故选B.[答案]B12．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－1a的图象可能是()4[解析]当a0时，函数y＝ax－1a是减函数，且在y轴上的截距－1a0，y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，∴A、D项均不正确．对于B、C项，若a0则y＝ax－1a是增函数，B项错，C项正确，故选C.[答案]C13.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是()A．nm0B．mn0C．nm0D．mn0[解析]由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m0，n0.当x＝2时，2m2n，所以nm0.[答案]A14．已知函数f(x)＝x1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________.[解析]取值验证．α＝1时，y＝x0，不满足；α＝2时，y＝x－13，在(0，＋∞)上是减函数．∵它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；α＝3时，y＝x－23满足题意．5[答案]315．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数是减函数，求满足(a＋1)－m3(3－2a)－m3的a的取值范围．[解]∵函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减，∴3m－90，解得m3.又m∈N*，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数．故m＝1.∴有(a＋1)－13(3－2a)－13.又∵y＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a＋13－2a0或0a＋13－2a或a＋103－2a.解得23a32或a－1.故a的取值范围为23，32∪(－∞，－1)．