2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大（小）值 第2课时

-1-第2课时函数的最大（小）值【基础练习】1．下列说法正确的是()A．若函数f(x)的值域为[a，b]，则f(x)min＝a，f(x)max＝bB．若f(x)min＝a，f(x)max＝b，则函数f(x)的值域为[a，b]C．若f(x)min＝a，直线y＝a不一定与f(x)的图象有交点D．若f(x)min＝a，直线y＝a一定与f(x)的图象有且仅有一个交点【答案】A【解析】值域为[a，b]，则最小的函数值即f(x)min＝a，最大的函数值即f(x)max＝b，A对．f(x)min＝a，f(x)max＝b，区间[a，b]上的某些元素可能不是函数值，因而[a，b]不一定是值域，B错．若f(x)min＝a，由定义知一定存在x0使f(x0)＝a，即f(x)与直线y＝a一定有交点，但不一定唯一，C，D都错．2．(2019年山东潍坊期中)函数g(x)＝x2－4x＋3在区间(1,4]上的值域是()A．[－1，＋∞)B．[0,3]C．(－1,3]D．[－1,3]【答案】D【解析】g(x)＝(x－2)2－1，当x＝2时，g(x)min＝－1；当x＝4时，g(x)max＝3，∴g(x)在(1,4]上的值域为[－1,3]．3．函数f(x)＝2x＋6，x∈[1，2]，x＋7，x∈[－1，1]，则f(x)的最大值与最小值分别为()A．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不对【答案】A【解析】∵x∈[1,2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，f(x)min＝2×1＋6＝8，x∈[－1,1]时，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，∴f(x)max＝10，f(x)min＝6．4．若函数y＝ax＋3在[0,3]上的最大值与最小值的差为9，则实数a的值是()A．3B．－3C．3或－3D．0【答案】C【解析】a0时，由题意，得3a＋3－3＝9，即a＝3；a0时，3－(3a＋3)＝9，∴a＝－3．综上，a＝±3．-2-5．3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为()A．9B．92C．3D．322【答案】B【解析】3－aa＋6＝－a2－3a＋18＝－a2＋3a＋94＋814＝－a＋322＋814，由于－6≤a≤3，所以当a＝－32时，3－aa＋6有最大值92．6．函数y＝1x－2，x∈[3,4]的最大值为________．【答案】1【解析】函数y＝1x－2在[3,4]上是单调减函数，故y的最大值为13－2＝1．7．已知函数f(x)＝4x2－mx＋1在区间(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，求f(x)在[1,2]上的值域．【解析】∵f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)＝4x2－mx＋1的对称轴方程x＝m8＝－2，即m＝－16．又[1,2]⊆[－2，＋∞)，且f(x)在[－2，＋∞)上单调递增，∴f(x)在[1,2]上单调递增．∴当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝4－m＋1＝21；当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝16－2m＋1＝49．∴f(x)在[1,2]上的值域为[21,49]．8．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？【解析】设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个(50≤x≤100)．∴y＝(x－40)(1000－10x)＝－10(x－70)2＋9000≤9000．故当x＝70时，ymax＝9000．售价为70元时，利润最大为9000元．【能力提升】9．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A．90万元B．60万元-3-C．120万元D．120．25万元【答案】C【解析】设公司在甲地销售x台，则在乙地销售(15－x)台，公司总获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－x－1922＋30＋1924，∴当x＝9或10时，L最大为120万元．10．当0≤x≤2时，a－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(0，＋∞)【答案】C【解析】令f(x)＝－x2＋2x＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1，∵0≤x≤2，∴f(x)最小值为f(0)＝f(2)＝0．而a－x2＋2x恒成立，∴a0．11．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是______．【答案】(1,3]【解析】由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减，又f(x)的单调减区间为(－∞，3]，∴1a≤3．12．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1．(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．【解析】(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1．∴f(x)＝ax2＋bx＋1．∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x．∴2a＝2，a＋b＝0.∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1．(2)由题意知x2－x＋12x＋m在[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m0在[－1,1]上恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1－m＝x－322－54－m，其对称轴为x＝32，∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数．∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m0．∴m－1．-4-