2019-2020学年新教材高中数学 课后作业20 函数的最大（小）值 新人教A版必修第一册

1课后作业(二十)复习巩固一、选择题1．函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如右图所示，则函数的最大值、最小值分别为()A．f(2)，f(－2)B．f12，f(－1)C．f12，f－32D．f12，f(0)[解析]根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x＝－32时，有最小值f－32；当x＝12时，有最大值f12.[答案]C2．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是()A．10,5B．10,1C．5,1D．以上都不对[解析]因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.[答案]B3．函数y＝3x＋2(x≠－2)在区间[0,5]上的最大值、最小值分别是()A.37，0B.32，0C.32，37D．最小值为－14，无最大值2[解析]因为函数y＝3x＋2在区间[0,5]上单调递减，所以当x＝0时，ymax＝32，当x＝5时，ymin＝37.故选C.[答案]C4．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A．2B．－2C．2或－2D．0[解析]由题意知a≠0，当a0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.[答案]C5．当0≤x≤2时，a－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(0，＋∞)[解析]令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a0.[答案]C二、填空题6．函数y＝－1x，x∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________．[解析]因为函数y＝－1x在[－3，－1]上为增函数，所以ymin＝13，ymax＝1，所以ymax－ymin＝1－13＝23.[答案]237．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．[解析]函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数有最小值－2.故当x＝0时，函数有最小值，当x＝1时，函数有最大值．∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，∴f(x)＝－x2＋4x－2，∴当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1.[答案]138.如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h(x)＝－x2＋2x＋54，x∈0，52，则水流喷出的高度h的最大值是________m.[解析]由函数h(x)＝－x2＋2x＋54，x∈0，52的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点．此时函数取得最大值．对于函数h(x)＝－x2＋2x＋54，x∈0，52，若x＝1，函数有最大值h(x)max＝－12＋2×1＋54＝94(m)．于是水流喷出的最高高度是94m.[答案]94三、解答题9．已知函数f(x)＝32x－1.(1)证明：函数f(x)在12，＋∞上是减函数；(2)求函数f(x)在[1,5]上的最大值和最小值．[解](1)证明：设x1、x2是区间12，＋∞上的任意两个实数，且x2x112，则f(x1)－f(x2)＝32x1－1－32x2－1＝6x2－x12x1－12x2－1.由于x2x112，所以x2－x10，且(2x1－1)·(2x2－1)0，4所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)＝32x－1在区间12，＋∞上是减函数．(2)由(1)知，函数f(x)在[1,5]上是减函数，因此，函数f(x)＝32x－1在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝13.10．求函数f(x)＝x2－2ax＋2在[－1,1]上的最小值．[解]函数f(x)图象的对称轴为直线x＝a，且函数图象开口向上，如图所示：①当a1时，f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)min＝f(1)＝3－2a；②当－1≤a≤1时，f(x)在[－1,1]上先减后增，故f(x)min＝f(a)＝2－a2；③当a－1时，f(x)在[－1,1]上单调递增，故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.综上可知f(x)的最小值为f(x)min＝3－2a，a1，2－a2，－1≤a≤1，3＋2a，a－1.综合运用11．函数f(x)＝2x＋6，x∈[1，2]，x＋7，x∈[－1，1]，则f(x)的最大值与最小值分别为()A．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不对[解析]∵x∈[1,2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，f(x)min＝2×1＋6＝8；x∈[－1,1]时，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，∴f(x)max＝10，f(x)min＝6.[答案]A12．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()5A．[1，＋∞)B．[0,2]C．(－∞，2]D．[1,2][解析]f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2，故选D.[答案]D13．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A．90万元B．60万元C．120万元D．120.25万元[解析]设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－x－1922＋30＋1924，∴当x＝9或10时，L最大为120万元．[答案]C14．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为________．[解析]化简函数为y＝－2x＋1，x≤－1，3，－1x≤2，2x－1，x2，其图象如图所示，所以函数的最小值为3.[答案]315．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)是R上的单调减函数．(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．6[解](1)证明：设x1，x2是任意的两个实数，且x1x2，则x2－x10，因为x0时，f(x)0，所以f(x2－x1)0，又因为x2＝(x2－x1)＋x1，所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)0，所以f(x2)f(x1)．所以f(x)是R上的单调减函数．(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×－23＝－2.所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.