2019-2020学年高中数学 课时作业14 三角形中的几何计算 北师大版必修5

1课时作业(十四)1．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°答案B解析∵33＝12×4×3sinC，∴sinC＝32.∵△ABC为锐角三角形，∴C＝60°，故选B.2．在△ABC中，BC＝2，B＝π3，当△ABC的面积等于32时，sinC等于()A.32B.12C.33D.34答案B解析由正弦定理得S△ABC＝12·AB·BC·sinB＝32AB＝32，∴AB＝1，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1＋4－4×12＝3，∴AC＝3，再由正弦定理，得1sinC＝3sinπ3，∴sinC＝12.3．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的长为()A.3B．3C.7D．7答案A解析由S△ABC＝32，得12AB·ACsinA＝32.即12×2AC×32＝32，∴AC＝1，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝22＋12－2×2×1×12＝3.∴BC＝3.4．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝3b＝12，则c的值为()A．4B．8C．4或8D．无解答案C2解析由3a＝3b＝12，得a＝4，b＝43，利用正弦定理可得B为60°或120°，从而解出c的值．5．(2014·新课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝()A．5B.5C．2D．1答案B解析由题意可得12AB·BC·sinB＝12，又AB＝1，BC＝2，所以sinB＝22，所以B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝2，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°.由余弦定理可得AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝5.6．在△ABC中，2acosB＝c，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形答案A解析方法一：由余弦定理，得2aa2＋c2－b22ac＝c.所以a2＋c2－b2＝c2.则a＝b.则△ABC是等腰三角形．方法二：由正弦定理，得2×2RsinAcosB＝2RsinC，即2sinAcosB＝sinC.又sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB，所以sin(A＋B)＋sin(A－B)＝sinC.又A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sinC.所以sin(A－B)＝0.又0Aπ，0Bπ，则－πA－Bπ.所以有A＝B，则△ABC是等腰三角形．探究思路一是转化为三角形的边的关系，利用代数运算获得三角形的关系式；思路二是转化为三角形的角的关系，利用三角函数知识获得了三角形的角的关系．思路二中，如果没有想到等式sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB，那么就会陷入困境．由于受三角函数知识的限制，提倡将已知条件等式转化为边的关系来判断三角形的形状．7．已知锐角三角形的边长分别是3，5，x，则x的取值范围是()A．1x5B．4x30C．1x4D．4x34答案D解析若5最大，则32＋x2－520，得x4.3若x最大，则32＋52－x20，得0x34.又2x8，则4x34.8．在△ABC中，A∶B＝1∶2，角C的平分线CD把三角形面积分为3∶2两部分，则cosA＝()A.13B.12C.34D．0答案C解析∵CD是∠C的平分线，∴S△ACDS△BCD＝12AC·CDsinC212BC·CDsinC2＝ACBC＝sinBsinA＝32.∵B＝2A，∴sinBsinA＝sin2AsinA＝2cosA＝32.∴cosA＝34.9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的外接圆半径为________．答案8155解析设顶角为A，则有cosA＝b2＋c2－a22bc＝122＋122－622×12×12＝78，∴sinA＝1－cos2A＝158.∴2R＝asinA，R＝a2sinA＝8155.10．在△ABC中，已知sinA∶sinB＝2∶1，c2＝b2＋2bc，则三内角A，B，C的度数依次是________．答案45°，30°，105°解析∵a＝2b，a2＝b2＋c2－2bccosA.∴2b2＝b2＋c2－2bccosA.4又∵c2＝b2＋2bc，∴cosA＝22，∴A＝45°.∴sinB＝12，B＝30°，∴C＝105°.11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(3b－c)cosA＝acosC，则cosA＝______．答案33解析由正弦定理，得(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC.化简得3sinBcosA＝sin(A＋C)．∵0sinB≤1，∴cosA＝33.12．在△ABC中，∠B＝45°，AC＝10，cosC＝255.(1)求BC边的长；(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．解析(1)由cosC＝255，得sinC＝55.sinA＝sin(180°－45°－C)＝22(cosC＋sinC)＝31010.由正弦定理知BC＝ACsinB·sinA＝1022·31010＝32.(2)AB＝ACsinB·sinC＝1022·55＝2.BD＝12AB＝1.由余弦定理知CD＝BD2＋BC2－2BD·BC·cosB＝1＋18－2×1×32×22＝13.13.如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7.5(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD＝－714，sin∠CBA＝216，求BC的长．解析(1)如题图，在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD.故由题设知，cos∠CAD＝7＋1－427＝277.(2)如题图，设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.因为cos∠CAD＝277，cos∠BAD＝－714，所以sin∠CAD＝1－cos2∠CAD＝1－2772＝217.sin∠BAD＝1－cos2∠BAD＝1－－7142＝32114.于是sinα＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD＝32114×277－－714×217＝32.在△ABC中，由正弦定理，得BCsinα＝ACsin∠CBA.6故BC＝AC·sinαsin∠CBA＝7×32216＝3.14.如图，在△ABC中，∠B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝17.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．解析(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝17，所以sin∠ADC＝437.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝AB·sin∠BADsin∠ADB＝8×3314437＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC＝7.15.如图所示，已知圆O的半径为1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是圆O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．7(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示成θ的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值．思路分析四边形OPDC可以分成△OPC和△PCD，S△OPC可用12OP·OC·sinθ表示；求△PCD的面积关键在于求出边长PC，在△POC中利用余弦定理可求解．解析(1)在△POC中，由余弦定理，得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cosθ＝12＋22－2×1×2×cosθ＝5－4cosθ.∴y＝S△OPC＋S△PCD＝12×1×2sinθ＋34(5－4cosθ)＝sinθ－3cosθ＋534＝2sin(θ－π3)＋534.(2)当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，ymax＝2＋534.