2019-2020学年新教材高中数学 课后作业19 函数的单调性 新人教A版必修第一册

1课后作业(十九)复习巩固一、选择题1．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上()A．必是增函数B．必是减函数C．是增函数或减函数D．无法确定单调性[解析]函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－1x在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．[答案]D2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝1xD．y＝－x2＋4[解析]因为－10，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝1x在(0，＋∞)上递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.[答案]A3．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1x2，使f(x1)f(x2)成立，则y＝f(x)()A．一定是增函数B．一定是减函数C．可能是常数函数D．单调性不能确定[解析]由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值．[答案]D4．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的单调递减区间是()A.－12，＋∞B．[－1，＋∞)C.－∞，－12D．(－∞，＋∞)[解析]y＝x2＋x＋1＝x＋122＋34，其对称轴为x＝－12，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤－12时单调递减．2[答案]C5．若f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则下列说法中正确的是()A．f(x)f(0)B．f(x2)f(0)C．f(3a＋1)f(3a)D．f(a2＋1)≥f(2a)[解析]∵a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a.当a＝1时，f(a2＋1)＝f(2a)；当a≠1时，f(a2＋1)f(2a)．故选D.[答案]D二、填空题6．若函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝________.[解析]由条件知x＝－2是函数f(x)图象的对称轴，所以m4＝－2，m＝－8，则f(1)＝13.[答案]137．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)是单调函数，则a的取值范围是________．[解析]因为函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－a]，所以－a≥－1，解得a≤1.[答案](－∞，1]8．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x－2)f(1－x)，则x的取值范围为________．[解析]∵f(x)是定义在R上的增函数，又∵f(x－2)f(1－x)，∴x－21－x，∴x32，即x的取值范围是－∞，32.[答案]－∞，32三、解答题9．画出下列函数的图象，并写出它们的值域和单调区间．(1)y＝|x＋1|；(2)y＝(x＋3)|x－1|.[解](1)∵y＝|x＋1|，∴y＝－x－1，x≤－1，x＋1，x－1.其图象如下图所示：3由图象可得函数的值域为[0，＋∞)．(－∞，－1]为函数的单调递减区间；[－1，＋∞)为函数的单调递增区间．(2)f(x)＝x＋3x－1，x≥1，－x＋3x－1，x1，即f(x)＝x＋12－4，x≥1，－x＋12＋4，x1.图象如图所示．结合图象可知，f(x)在(－∞，－1)上是单调增函数，在[－1,1]上是单调减函数，在[1，＋∞)上是单调增函数．函数的值域是R.10．已知函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，试比较f34与f(a2－a＋1)的大小．[解]∵a2－a＋1＝a－122＋34≥34，∴34与a2－a＋1都在区间[0，＋∞)内．又∵y＝f(x)在区间[0，＋∞)上是减函数，∴f34≥f(a2－a＋1)等号当且仅当a＝12时取到.综合运用11．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A．a－14B．a≥－144C．－14≤a0D．－14≤a≤0[解析]当a＝0时，f(x)＝2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的；当a0时，由函数f(x)＝ax2＋2x－3的图象知，不可能在区间(－∞，4)上是单调递增；当a0时，只有－22a≥4，即a≥－14满足函数f(x)在区间(－∞，4)上是单调递增的，综上可知实数a的取值范围是－14≤a≤0.[答案]D12．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则()A．f(－1)f(1)f(2)B．f(1)f(2)f(－1)C．f(2)f(－1)f(1)D．f(1)f(－1)f(2)[解析]因为二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，则f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，故f(1)f(2)f(3)，即f(1)f(2)f(－1)．故选B.[答案]B13．已知函数f(x)＝a－3x＋5，x≤1，2ax，x1是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A．(0,3)B．(0,3]C．(0,2)D．(0,2][解析]依题意得实数a满足a－30，2a0，a－3＋5≥2a，解得0a≤2.[答案]D14．设函数f(x)满足：对∀x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．[解析]由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，可知函数f(x)为增函数．又－3－π，所以f(－3)f(－π)．[答案]f(－3)f(－π)15．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)1的解集为________．[解析]由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1，∴不等式f(x)＋f(－2)1，5即为f(－2x)f(3)．∵f(x)是定义在R上的增函数，∴－2x3，解得x－32.故不等式f(x)＋f(－2)1的解集为xx－32.[答案]xx－3216．已知函数f(x)＝x－ax＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．[解]设1x1x2，∴x1x21.∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x1)－f(x2)＝x1－ax1＋a2－x2－ax2＋a2＝(x1－x2)1＋ax1x20.∵x1－x20，∴1＋ax1x20，即a－x1x2.∵1x1x2，x1x21，∴－x1x2－1，∴a≥－1.∴a的取值范围是[－1，＋∞)．