2019-2020学年高中数学 章末测试题1 数列 北师大版必修5

1第一章章末测试题一、选择题(每小题5分，共60分)1．在数列2，9，23，44，72，…中，第6项是()A．82B．107C．100D．83答案B2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则a2等于()A．4B．2C．1D．－2答案A解析S1＝2a1－2＝a1，∴a1＝2，S2＝2a2－2＝a1＋a2，∴a2＝4.3．(2014·福建)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8B．10C．12D．14答案C解析设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋3d，所以12＝3×2＋3d，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于()A．12B．18C．24D．42答案C解析思路一：设公差为d，由题意得2a1＋d＝2，4a1＋6d＝10，解得a1＝14，d＝32.则S6＝6a1＋15d＝24.思路二：S2，S4－S2，S6－S4也成等差数列，则2(S4－S2)＝S6－S4＋S2，所以S6＝3S4－3S2＝24.5．等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于()A．12B．10C．8D．2＋log35答案B2解析由等比数列的性质可知：a5a6＝a4a7＝a3a8＝…＝a1a10，∴a5a6＋a4a7＝2a1a10＝18，∴a1a10＝9.∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·a3·…·a10)＝log3(a1a10)5＝10.6.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n＋1）2－1的值为()A.n＋12（n＋2）B.34－n＋12（n＋2）C.34－12(1n＋1＋1n＋2)D.32－1n＋1＋1n＋2答案C解析∵1（n＋1）2－1＝1n2＋2n＝1n（n＋2）＝12(1n－1n＋2)，∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n＋1）2－1＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2)＝12(32－1n＋1－1n＋2)＝34－12(1n＋1＋1n＋2)．7．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()A．21B．20C．19D．18答案B解析∵a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，∴3a3＝105，3a4＝99，即a3＝35，a4＝33.∴a1＝39，d＝－2，得an＝41－2n.令an≥0且an＋10，n∈N*，则有n＝20.故选B.8．在等比数列{an}中，已知a1a83a15＝243，则a93a11的值为()A．3B．9C．27D．81答案B解析∵a1a83a15＝243，∴a8＝3，a93a11＝（a8q）3a8q3＝a82＝9.故选B.9．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于()A．7B．83C．15D．16答案C解析由4a1＋a3＝4a2⇒4＋q2＝4q⇒q＝2，则S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.10．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为()A.2n＋1nB.n＋1nC.n－1nD.n＋12n答案B11．(2014·辽宁)设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则()A．d＜0B．d＞0C．a1d＜0D．a1d＞0答案C解析把2a1an看成一个整体bn，利用递减数列的关系式bn＞bn＋1求解．设bn＝2a1an，则bn＋1＝2a1an＋1，由于{2a1an}是递减数列，则bn＞bn＋1，即2a1an＞2a1an＋1.∵y＝2x是单调增函数，∴a1an＞a1an＋1，∴a1an－a1(an＋d)＞0，∴a1(an－an－d)＞0，即a1(－d)＞0，∴a1d＜0.12．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且an·an－1an－1－an＝an·an＋1an－an＋1，则此数列的第10项为()A.1210B.129C.110D.15答案D解析∵an·an－1an－1－an＝an·an＋1an－an＋1，∴{an·an－1an－1－an}为常数列．∴an·an－1an－1－an＝a2·a1a1－a2＝2.∴an·an－1＝2an－1－2an.∴1an－1an－1＝12.∴{1an}为等差数列，首项1a1＝12，公差d＝12.∴1an＝12＋(n－1)·12＝n2.∴an＝2n，∴a10＝15.二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知等差数列{an}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________．4答案－9解析由题意得a32＝a1a4，所以(a1＋6)2＝a1(a1＋9)，解得a1＝－12.所以a2＝－12＋3＝－9.14．(2014·北京)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a90，a7＋a100，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．答案8解析利用等差数列的性质求前n项和的最值．∵a7＋a8＋a9＝3a80，∴a80.∵a7＋a10＝a8＋a90，∴a9－a80.∴数列的前8项和最大，即n＝8.15．将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415………………根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________．答案n22－n2＋3(n≥3)解析该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n行有n个数，则第n－1(n≥3)行的最后一个数（n－1）（1＋n－1）2＝n22－n2，则第n行从左至右的第3个数为n22－n2＋3(n≥3)．16．已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝19，则a36＝________．答案4解析∵a1＝19，∴a2＝a1＋a1＝29，a4＝a2＋a2＝49，a8＝a4＋a4＝89.∴a36＝a18＋a18＝2a18＝2(a9＋a9)＝4a9＝4(a1＋a8)＝4(19＋89)＝4.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)517．(本小题满分10分)等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.解析设数列{an}的公差为d，则a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d.由a3，a6，a10成等比数列，得a3a10＝a62，即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d2－10d＝0，解得d＝0或d＝1.当d＝0时，S20＝20a4＝200；当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7.于是S20＝20a1＋20×192d＝20×7＋190＝330.18．(本小题满分12分)等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.(1)求数列{an}的通项an；(2)若Sn＝242，求n；(3)令bn＝2an－10，求数列{bn}的前n项和Tn.解析(1)设{an}的首项为a1，公差为d，由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，得方程组a1＋9d＝30，a1＋19d＝50，解得a1＝12，d＝2.所以an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10.(2)由Sn＝na1＋n（n－1）2d，Sn＝242，得方程12n＋n（n－1）2×2＝242，解得n＝11或n＝－22(舍去)．(3)由(1)得bn＝2an－10＝22n＋10－10＝22n＝4n，所以bn＋1bn＝4n＋14n＝4，所以{bn}是首项为4，公比q＝4的等比数列．6所以数列{bn}的前n项和Tn＝4×（1－4n）1－4＝43(4n－1)．19．(本小题满分12分)设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若{cn}是1，1，2，…，求数列{cn}的前10项的和．解析∵c1＝a1＋b1，即1＝a1＋0，∴a1＝1.又a2＋b2＝c2，a3＋b3＝c3，即q＋d＝1，①q2＋2d＝2.②②－2×①得q2－2q＝0.又∵q≠0，∴q＝2，d＝－1.c1＋c2＋c3＋…＋c10＝(a1＋a2＋a3＋…＋a10)＋(b1＋b2＋b3＋…＋b10)＝a1（1－q10）1－q＋10b1＋10×92d＝210－1＋45·(－1)＝978.20．(本小题满分12分)在等差数列{an}中，a1＝3，前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1＝1，且b2＋S2＝12，{bn}的公比q＝S2b2.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)求数列{1Sn}的前n项和Tn.解析(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知可得q＋3＋（3＋d）＝12，q＝3＋（3＋d）q，又q0，所以d＝3，q＝3.所以an＝3＋(n－1)3＝3n，bn＝3n－1.(2)由(1)知数列{an}中，a1＝3，an＝3n，所以Sn＝n（3＋3n）2，所以1Sn＝2n（3＋3n）＝23(1n－1n＋1)．7所以Tn＝1S1＋1S2＋…＋1Sn＝23[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)]＝23(1－1n＋1)＝2n3（n＋1）.21．(本小题满分12分)为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2009年底，将当地沙漠绿化了40%，从2010年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)．同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg2＝0.3，最后结果精确到整数)解析设该地区总面积为1，2009年底绿化面积为a1＝25，经过n年后绿洲面积为an＋1，设2009年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn＋1，则a1＋b1＝1，an＋bn＝1.依题意an＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%·an得剩余面积92%·an，另一部分是新绿化的12%·bn，所以an＋1＝92%an＋12%(1－an)＝45an＋325，即an＋1－35＝45(an－35)．∴{an－35}是以－15为首项，45为公比的等比数列．则an＋1＝35－15(45)n.∵an＋150%，∴35－15(45)n12.∴(45)n12.∴nlog4512＝lg21－3lg2＝3.则当n≥4时，不等式(45)n12恒成立．所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.22．(本小题满分12分)设正项等比数列{an}的首项a1＝12，前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，(1)求{an}的通项公式；(2)求{nSn}的前n项和Tn.解析(1)an＝12n，n＝1，2，…(2)∵{an}是首项a1＝12，公比q＝12的等比数列，8∴Sn＝12（1－12n）1－12＝1－12n，nSn＝n－n2n.则数列{nSn}的前n项和Tn＝(1＋2＋…＋n)－(12＋222＋…＋n2n)①Tn2＝12(1＋2＋…＋n)－(122＋223＋…＋n－12n＋n2n＋1)②①－②，得Tn2＝12(1＋2＋…＋n)－(12＋122＋…＋12n)＋n2n＋1＝n（n＋1）4－12（1－12n）1－12＋n2n＋1，即Tn＝n（n＋1）2＋12n－1＋n2n－2.