2019-2020学年新教材高中数学 课后作业48 两角差的余弦公式 新人教A版必修第一册

1课后作业(四十八)复习巩固一、选择题1．sin11°cos19°＋cos11°cos71°的值为()A.32B.12C.1＋32D.3－12[解析]sin11°cos19°＋cos11°cos71°＝cos11°cos71°＋sin11°sin71°＝cos(11°－71°)＝cos(－60°)＝12.故选B.[答案]B2．已知点P(1，2)是角α终边上一点，则cos(30°－α)＝()A.3＋66B.3－66C．－3＋66D.6－36[解析]因为点P(1，2)是角α终边上一点，所以cosα＝13＝33，sinα＝23＝63，所以cos(30°－α)＝cos30°cosα＋sin30°sinα＝32×33＋12×63＝3＋66.[答案]A3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cosα＝1213，sinβ＝－35，则cos(α－β)的值为()A．－6365B．－3365C.6365D.3365[解析]∵α为锐角，且cosα＝1213，∴sinα＝1－cos2α＝513，∵β为第三象限角，且sinβ＝－35，∴cosβ＝－1－sin2β＝－45，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1213×－45＋513×－35＝－6365.故选A.2[答案]A4．已知sinπ6＋α＝35，π3α5π6，则cosα的值是()A.3－4310B.4－3310C.23－35D.3－235[解析]∵π3α5π6，∴π2π6＋απ.∴cosπ6＋α＝－1－sin2π6＋α＝－45.∴cosα＝cosπ6＋α－π6＝cosπ6＋αcosπ6＋sinπ6＋α·sinπ6＝－45×32＋35×12＝3－4310.[答案]A5．若cos(α＋β)＝35，sinβ－π4＝513，α，β∈0，π2，那么cosα＋π4的值为()A.22B.32C.5665D.3665[解析]∵α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)，β－π4∈－π4，π4.又∵cos(α＋β)＝35，sinβ－π4＝513，∴sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝45，cosβ－π4＝1－sin2β－π4＝1213，∴cosα＋π4＝cosα＋β－β－π4＝cos(α＋β)cosβ－π4＋sin(α＋β)sinβ－π4＝35×1213＋45×513＝5665.[答案]C3二、填空题6．cos(30°＋α)cosα＋sin(30°＋α)sinα的值是________．[解析]原式＝cos[(30°＋α)－α]＝cos30°＝32.[答案]327．已知cosα－π3＝cosα，则tanα＝________.[解析]cosα－π3＝cosαcosπ3＋sinαsinπ3＝12cosα＋32sinα＝cosα，∴32sinα＝12cosα，∴sinαcosα＝33，即tanα＝33.[答案]338．满足12sinx＋32cosx＝12的角x的集合是__________．[解析]12sinx＋32cosx＝cosxcosπ6＋sinxsinπ6＝cosx－π6，∴cosx－π6＝12，∴x－π6＝π3＋2kπ或x－π6＝－π3＋2kπ，k∈Z，∴x＝π2＋2kπ或x＝－π6＋2kπ，k∈Z.即所求的角x的集合是xx＝π2＋2kπ或x＝－π6＋2kπ，k∈Z.[答案]xx＝π2＋2kπ或x＝－π6＋2kπ，k∈Z三、解答题9．若x∈π2，π，且sinx＝45，求2cosx－2π3＋2cosx的值．[解]∵x∈π2，π，sinx＝45，∴cosx＝－35.∴2cosx－2π3＋2cosx＝2cosxcos2π3＋sinxsin2π3＋2cosx4＝2－12cosx＋32sinx＋2cosx＝3sinx＋cosx＝435－35＝43－35.10．已知cosα＝55，sin(α－β)＝34，且α，β∈0，π2.求：cos(2α－β)的值．[解]因为α，β∈0，π2，所以α－β∈－π2，π2.又因为sin(α－β)＝10100，所以0α－βπ2.所以sinα＝1－cos2α＝255，cos(α－β)＝1－sin2α－β＝74.cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)＝55×74－255×34＝35－6520.综合运用11．已知cosx－π6＝－33，则cosx＋cosx－π3等于()A．－233B．±233C．－1D．±1[解析]因为cosx－π6＝－33，所以cosx＋cosx－π3＝cosx＋12cosx＋32sinx＝32cosx＋32sinx＝332cosx＋12sinx＝3cosx－π6＝－1.故选C.[答案]C512．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0和cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值是()A.12B.32C．－12D．－32[解析]由已知得，－sinγ＝sinα＋sinβ，①－cosγ＝cosα＋cosβ，②①2＋②2得，1＝1＋1＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ，化简得cosαcosβ＋sinαsinβ＝－12，即cos(α－β)＝－12，故选C.[答案]C13．化简：2cos10°－sin20°cos20°＝________.[解析]原式＝2cos30°－20°－sin20°cos20°＝2cos30°cos20°＋2sin30°sin20°－sin20°cos20°＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝3cos20°cos20°＝3.[答案]314．已知α，β均为锐角，且sinα＝255，sinβ＝1010，则α－β＝________.[解析]∵α，β均为锐角，∴cosα＝55，cosβ＝31010.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝55×31010＋255×1010＝22.又∵sinαsinβ，∴0βαπ2，∴0α－βπ2.故α－β＝π4.[答案]π415．已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈π2，π，α＋β∈63π2，2π，求角β的值．[解]由α－β∈π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513.cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×－1213＋－513×513＝－1.因为α－β∈π2，π，α＋β∈3π2，2π，所以2β∈π2，3π2.所以2β＝π.故β＝π2.