2019-2020学年新教材高中数学 课后作业12 利用基本不等式求最值 新人教A版必修第一册

1课后作业(十二)复习巩固一、选择题1．当x0时，y＝12x＋4x的最小值为()A．4B．8C．83D．16[解析]∵x0，∴12x0,4x0.∴y＝12x＋4x≥212x·4x＝83.当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，∴当x0时，y的最小值为83.[答案]C2．设x，y为正数，则(x＋y)1x＋4y的最小值为()A．6B．9C．12D．15[解析](x＋y)1x＋4y＝x·1x＋4xy＋yx＋y·4y＝1＋4＋4xy＋yx≥5＋24xy·yx＝9.[答案]B3．若x0，y0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值164C．最小值12D．最小值64[解析]由题意xy＝2x＋8yxy＝2y＋8x≥22y·8x＝8xy，∴xy≥8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.[答案]D4．已知p0，q0，p＋q＝1，且x＝p＋1p，y＝q＋1q，则x＋y的最小值为()A．6B．5C．4D．3[解析]由p＋q＝1，2∴x＋y＝p＋1p＋q＋1q＝1＋1p＋1q＝1＋1p＋1q(p＋q)＝1＋2＋qp＋pq≥3＋2qp·pq＝5，当且仅当qp＝pq即p＝q＝12时取等号，所以B选项是正确的．[答案]B5．若a1，则a＋1a－1有最________(填“大”或“小”)值，为________．[解析]∵a1，∴a－10，∴－a－1＋1a－1＝(1－a)＋11－a≥2，∴a－1＋1a－1≤－2，∴a＋1a－1≤－1.当且仅当a＝0时取等号．[答案]大－1二、填空题6．已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为________．[解析]由x(3－3x)＝13×3x(3－3x)≤13×3x＋3－3x22＝34，当且仅当3x＝3－3x，即x＝12时等号成立．[答案]127．已知正数x，y满足x＋2y＝1，则1x＋1y的最小值为________．[解析]∵x，y为正数，且x＋2y＝1，∴1x＋1y＝(x＋2y)1x＋1y＝3＋2yx＋xy≥3＋22，当且仅当2yx＝xy，即当x＝2－1，y＝1－22时等号成立．∴1x＋1y的最小值为3＋22.[答案]3＋2238．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．[解析]每年购买次数为400x次．∴总费用＝400x·4＋4x≥26400＝160，当且仅当1600x＝4x，即x＝20时等号成立．[答案]20三、解答题9．已知a，b，x，y0，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，ax＋by＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.[解]x＋y＝(x＋y)ax＋by＝a＋b＋bxy＋ayx≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2，当且仅当bxy＝ayx时取等号．故(x＋y)min＝(a＋b)2＝18，即a＋b＋2ab＝18，①又a＋b＝10，②由①②可得{a＝2b＝8或{a＝8b＝2.10．(1)已知x3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；(2)设x0，y0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．[解](1)∵x3，∴x－30.∴f(x)＝4x－3＋x＝4x－3＋x－3＋3＝－43－x＋3－x＋3≤－243－x·3－x＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x，即x＝1时取等号，∴f(x)的最大值为－1.(2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x，4∵x0，y0，∴x－80，y＝2xx－8，∴x＋y＝x＋2xx－8＝x＋2x－16＋16x－8＝(x－8)＋16x－8＋10≥2x－8×16x－8＋10＝18.当且仅当x－8＝16x－8，即x＝12时，等号成立．∴x＋y的最小值是18.解法二：由2x＋8y－xy＝0及x0，y0，得8x＋2y＝1，∴x＋y＝(x＋y)8x＋2y＝8yx＋2xy＋10≥28yx·2xy＋10＝18.当且仅当8yx＝2xy，即x＝2y＝12时等号成立，∴x＋y的最小值是18.综合运用11．已知a0，b0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()A.72B．4C.92D．5[解析]∵a＋b＝2，∴a＋b2＝1，∴1a＋4b＝1a＋4ba＋b2＝52＋2ab＋b2a≥52＋22ab·b2a＝92(当且仅当2ab＝b2a，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝1a＋4b的最小值为92.[答案]C12．若xy是正数，则x＋12y2＋y＋12x2的最小值是()A．3B.72C．4D.925[解析]x＋12y2＋y＋12x2＝x2＋y2＋141x2＋1y2＋xy＋yx＝x2＋14x2＋y2＋14y2＋xy＋yx≥1＋1＋2＝4.当且仅当x＝y＝22或x＝y＝－22时取等号．[答案]C13．若对任意x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．[解析]因为x0，所以x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号，所以有xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤12＋3＝15，即xx2＋3x＋1的最大值为15，故a≥15.[答案]15，＋∞14．设x－1，则函数y＝x＋5x＋2x＋1的最小值是________．[解析]∵x－1，∴x＋10，设x＋1＝t0，则x＝t－1，于是有y＝t＋4t＋1t＝t2＋5t＋4t＝t＋4t＋5≥2t·4t＋5＝9，当且仅当t＝4t，即t＝2时取等号，此时x＝1，∴当x＝1时，函数y＝x＋5x＋2x＋1取得最小值9.[答案]915．阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？6[解]设矩形温室的一边长为xm，则另一边长为800xm(2x200)．依题意得种植面积：S＝(x－2)800x－4＝800－1600x－4x＋8＝808－1600x＋4x≤808－21600x·4x＝648，当且仅当1600x＝4x，即x＝20时，等号成立．即当矩形温室的一边长为20m，另一边长为40m时种植面积最大，最大种植面积是648m2.