2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.2.2 同角三角函数的基本关系随堂巩固验

15．2.2同角三角函数的基本关系1．下列等式中恒成立的个数为()①sin21＝1－cos21；②sin2α＋cos2α＝sin23＋cos23；③sinα＝tanαcosαα≠π2＋kπ，k∈Z.A．1B．2C．3D．0[解析]①②③都正确，故选C.[答案]C2．已知α是第四象限角，cosα＝1213，则sinα等于()A.513B．－513C.512D．－512[解析]∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴sin2θ＝1－cos2θ＝1－144169＝25169，又∵α是第四象限角，∴sinα0，即sinθ＝－513.[答案]B3．化简1sinα＋1tanα(1－cosα)的结果是()A．sinαB．cosαC．1＋sinαD．1＋cosα[解析]1sinα＋1tanα(1－cosα)＝1sinα＋cosαsinα(1－cosα)＝1－cos2αsinα＝sin2αsinα＝sinα.[答案]A4．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为()A．－15B．－352C.15D.35[解析]sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝25－1＝－35.[答案]B5．若tanθ＝－2，求sinθcosθ.[解]∵sinθcosθ＝sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝sinθcosθcos2θsin2θ＋cos2θcos2θ＝tanθtan2θ＋1，而tanθ＝－2，∴原式＝－2－22＋1＝－25.课内拓展课外探究sinα±cosα与sinαcosα关系的应用sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其它两个，即“知一求二”，它们之间的关系是(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.【典例】已知sinα＋cosα＝15，α∈(0，π)，求：(1)sinαcosα；(2)sinα－cosα；(3)sin3α＋cos3α.[解](1)由sinα＋cosα＝15，平方得2sinαcosα＝－2425，∴sinαcosα＝－1225.(2)∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925，∴sinα－cosα＝±75.又由(1)知sinαcosα0，∴α∈π2，π，∴sinα0，cosα0，∴sinα－cosα＝75.(3)∵sin3α＋cos3α＝(sinα＋cosα)(sin2α－sinαcosα＋cos2α)＝(sinα＋cosα)(1－sinαcosα)，3由(1)知sinαcosα＝－1225，且sinα＋cosα＝15，∴sin3α＋cos3α＝15×1＋1225＝15×3725＝37125.[点评](1)已知sinα±cosα，sinαcosα中的一个，求其它两个的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有：①(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；②(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα；③(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；④(sinα－cosα)2＝(sinα＋cosα)2－4sinαcosα.(2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．