2019-2020学年新教材高中数学 课后作业30 对数的运算 新人教A版必修第一册

1课后作业(三十)复习巩固一、选择题1.log29log23＝()A.12B．2C.32D.92[解析]原式＝log29log23＝log232log23＝2.[答案]B2．2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4[解析]原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.[答案]C3．若a0，且a≠1，则下列说法正确的是()A．若M＝N，则logaM＝logaNB．若logaM＝logaN，则M＝NC．若logaM2＝logaN2，则M＝ND．若M＝N，则logaM2＝logaN2[解析]在A中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立，故A错误；在B中，当logaM＝logaN时，必有M0，N0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误．[答案]B4．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是()A．a－2B．3a－(1＋a)2C．5a－25a－2D．－a2＋3a－1[解析]∵a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.[答案]A5．计算log225·log322·log59的结果为()A．3B．42C．5D．6[解析]原式＝lg25lg2·lg22lg3·lg9lg5＝2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5＝6.[答案]D二、填空题6．lg5＋lg20的值是________．[解析]lg5＋lg20＝lg100＝lg10＝1.[答案]17．若logab·log3a＝4，则b的值为________．[解析]logab·log3a＝lgblga·lgalg3＝lgblg3＝4，所以lgb＝4lg3＝lg34，所以b＝34＝81.[答案]818．四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝23lgE－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．[解析]设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2、E1，则8－6＝23(lgE2－lgE1)，即lgE2E1＝3.∴E2E1＝103＝1000，即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹．[答案]1000三、解答题9．求下列各式的值：(1)2log525＋3log264；(2)lg(3＋5＋3－5)；(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.[解](1)∵2log525＝2log552＝4log55＝4，3log264＝3log226＝18log22＝18，∴2log525＋3log264＝4＋18＝22.(2)原式＝12lg(3＋5＋3－5)23＝12lg(3＋5＋3－5＋29－5)＝12lg10＝12.(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2＝(lg5)2－(lg2)2＋2lg2＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.10．(1)若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求xy的值；(2)设3x＝4y＝36，求2x＋1y的值(x0，y0)．[解](1)因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，所以{x0，y0x－2y0xy＝x－2y2.由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，所以x＝y或x＝4y.又x0，y0且x－2y0，所以舍去x＝y，故x＝4y，则xy＝4.(2)解法一：∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436.∴1x＝1log336＝1log3636log363＝log363，1y＝1log436＝1log3636log364＝log364.∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.解法二：对等式3x＝4y＝36各边都取以6为底的对数，得log63x＝log64y＝log636，即xlog63＝ylog64＝2.∴2x＝log63，1y＝log62.∴2x＋1y＝log63＋log62＝log66＝1，即2x＋1y＝1.4综合运用11．若ab0，给出下列四个等式：①lg(ab)＝lga＋lgb;②lgab＝lga－lgb；③12lgab2＝lgab；④lg(ab)＝1logab10.其中一定成立的等式的序号是()A．①②③④B．①②C．③④D．③[解析]∵ab0，∴a0，b0或a0，b0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab0，∴ab0，12lgab2＝12×2lgab＝lgab，∴③中等式成立；当ab＝1时，lg(ab)＝0，但logab10无意义，∴④中等式不成立．故选D.[答案]D12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1x－1y＝()A.13B．3C．－13D．－3[解析]∵x＝log2.51000，y＝log0.251000，∴1x＝1log2.51000＝log10002.5，同理1y＝log10000.25，∴1x－1y＝log10002.5－log10000.25＝log100010＝lg10lg1000＝13.[答案]A13．已知lg2＝a，lg3＝b，则log36＝________.[解析]log36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a＋bb.[答案]a＋bb14．计算log225·log3116·log519·lne＝________.[解析]原式＝2lg5lg2×－4lg2lg3×－2lg3lg5×12＝8.[答案]8515．设a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．[解]原方程可化为2(lgx)2－4lgx＋1＝0.设t＝lgx，则方程化为2t2－4t＋1＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝12.又∵a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，∴t1＝lga，t2＝lgb，即lga＋lgb＝2，lga·lgb＝12.∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lga＋lgb)·lgblga＋lgalgb＝(lga＋lgb)·lgb2＋lga2lga·lgb＝(lga＋lgb)·lga＋lgb2－2lga·lgblga·lgb＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.