2019-2020学年新教材高中数学 课后作业6 充分条件与必要条件 新人教A版必修第一册

1课后作业(六)复习巩固一、选择题1．命题“菱形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是菱形[解析]命题可改为“若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”故选C.[答案]C2．俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的()A．充分条件B．必要条件C．既不充分又不必要条件D．无法判断[解析]这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．选A.[答案]A3．设集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不充分又不必要条件[解析]因为集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”可得到“m∈A”，故选B.[答案]B4．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是()A．“acbc”是“ab”的充分条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“acbc”是“ab”的必要条件D．“a2b2”是“ab”的充分条件[解析]因为a＝b⇒ac＝bc，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．2[答案]B5．设p：实数x，y满足x1且y1，q：实数x，y满足x＋y2，则p是q的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件[解析]当x1，y1时，x＋y2一定成立，即p⇒q；当x＋y2时，可以x＝－1，y＝4，此时q推不出p.故p是q的充分条件．[答案]A二、填空题6．条件p：1－x0，条件q：xa，若q是p的必要条件，则a的取值范围是________．[解析]由题意可得条件p：x1，若q是p的必要条件，则p⇒q，也就是说p对应集合是q对应集合的子集，所以a≤1.[答案]a≤17．设x，y∈R，那么“xy0”是“xy1”的________条件(填“充分”或“必要”)．[解析]xy0⇒xy1，而由xy1推不出xy0，如：x＝－5，y＝－4，满足xy1，但－5－4，即xy0，不满足xy0.故xy0是xy1的充分条件．[答案]充分8．记A＝{x|－3x2}，B＝{x|xa}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．[解析]由题意可得A⊆B.故a≤－3.[答案]a≤－3三、解答题9．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断由p是否可以推出q.(1)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧．[解](1)原命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，这个命题是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论．(2)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，这个命题是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论．310．下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(4)p：m－1，q：x2－x－m＝0无实根．[解](1)∵a＋b＝0推不出a2＋b2＝0，而a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，∴p是q的必要条件．(2)∵四边形的对角线相等推不出四边形是矩形，而四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，∴p是q的必要条件．(3)∵x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，∴p既是q的充分条件又是q的必要条件．(4)若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m0，即m－14.∵m－1⇒m－14，而m－14推不出m－1，∴p是q的充分条件．综合运用11．可以作为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要条件的是()A．m12B．m14C．m－12D．m－14[解析]由题意可得Δ＝b2－4ac＝1－4×1×m≥0，解得m≤14.四个选项中，只有m12是m≤14的必要条件，故选A.[答案]A12．下列选项中，可以作为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是()A．a≤0B．a0C．a－1D．a1[解析]因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．所以Δ0，x1x20，即44－4a0，1a0.解得a0.选项中只有a－1⇒a0，故选C.[答案]C13．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③ab0中分别选出适合下列条件的，用序号填空．(1)a，b都为0的必要条件是________；(2)使a，b都不为0的充分条件是________．[解析]①ab＝0即为a＝0或b＝0，即a，b中至少有一个为0；②a＋b＝0即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由ab0知a与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”，所以a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③.[答案](1)①②(2)③14．已知p：3x＋m0，q：x－1或x3，若p是q的一个充分条件，则m的取值范围是________．[解析]由3x＋m0，得x－m3.记A＝x|x－m3，∴p：A＝x|x－m3.记B＝{x|x－1或x3}，∴q：B＝{x|x－1或x3}．∵p是q的一个充分条件，∴p⇒q，∴A⊆B，∴－m3≤－1，∴m≥3，即m的取值范围是m≥3.[答案]m≥315．已知p：(x－3)(x＋1)0，若－ax－1a(a0)是p的一个必要条件，求使ab恒成立的实数b的取值范围．[解]由(x－3)(x＋1)0，得x－30，x＋10或x－30，x＋10.解得－1x3.由－ax－1a，得1－ax1＋a.因为－ax－1a(a0)是p的一个必要条件，所以{x|－1x3}⊆{x|1－ax1＋a}(a0)．所以1－a≤－1，1＋a≥3.解得a≥2.则使ab恒成立的实数b的取值范围是b2.5