2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.7 三角函数的应用学案 新人教A版必修第

15.7三角函数的应用1．会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．2．能将某些实际问题抽象为三角函数模型．1．三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．2．用函数模型解决实际问题的一般步骤收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在解决实际问题时，利用收集的数据作散点图，可精确估计函数模型．()(2)若函数y＝asinx＋1在x∈[0,2π]上有两个不同零点，则实数a的取值范围是a∈[－1,1]．()(3)已知某一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sinπ8x－54π＋20，x∈[4,16]，则该地区在这一时段的温差为20℃.()[答案](1)×(2)×(3)×题型一三角函数在物理中的应用【典例1】已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin2t＋π3，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？[思路导引]画出函数图象，再求解．2[解]列表如下，t－π6π12π37π125π62t＋π30π2π3π22πsin2t＋π3010－10s040－40描点、连线，图象如图所示．(1)将t＝0代入s＝4sin2t＋π3，得s＝4sinπ3＝23，所以小球开始振动时的位移是23cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm.(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．[针对训练]31．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝2203sin100πt＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[解](1)当t＝0时，E＝2203sinπ6＝1103V.(2)电压值重复出现一次的时间间隔T＝2π100π＝150s.(3)电压的最大值为2203V.第一次获得最大值的时间为100πt＋π6＝π2，即t＝1300s.题型三三角函数在实际生活中的应用【典例2】某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asinωt＋B的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)4[思路导引](1)根据所给水深数据，求出解析式；(2)由三角不等式求解．[解](1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asinωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝2πT＝π6.又ymin＝7，ymax＝13，∴A＝12(ymax－ymin)＝3，B＝12(ymax＋ymin)＝10.∴函数的解析式为y＝3sinπ6t＋10(0≤t≤24)．(2)由题意，得水深y≥4.5＋7，即y＝3sinπ6t＋10≥11.5，t∈[0,24]，∴sinπ6t≥12，π6t∈2kπ＋π6，2kπ＋5π6，k＝0,1，∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．解三角函数应用问题的基本步骤5[针对训练]2．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃.(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0，|φ|π，x∈[0,24))的表达式；(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？[解](1)由题意知A＋b＝14，－A＋b＝－2，解得A＝8，b＝6，易知T2＝14－2，所以T＝24，所以ω＝π12，易知8sinπ12×2＋φ＋6＝－2，即sinπ12×2＋φ＝－1，故π12×2＋φ＝－π2＋2kπ，k∈Z，又|φ|π，得φ＝－2π3，6所以y＝8sinπ12x－2π3＋6(x∈[0,24))．(2)当x＝9时，y＝8sinπ12×9－2π3＋6＝8sinπ12＋68sinπ6＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．课堂归纳小结1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．(3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.1．如图所示，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin2πt＋π6，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为()A．2sB．1sC.12sD.14s[解析]因为T＝2π2π＝1，所以从最右边到左边的时间为半个周期，即12s，故选C.[答案]C2．已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin(160πt)＋115.其中f(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为()A．60B．70C．80D．907[解析]由题意可得频率f＝1T＝160π2π＝80(次/分)，所以此人每分钟心跳的次数是80.[答案]C3．如图表示电流I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(A0，ω0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为()A．I＝300sin50πt＋π3B．I＝300sin50πt－π3C．I＝300sin100πt＋π3D．I＝300sin100πt－π3[解析]由图象得周期T＝21150＋1300＝150，最大值为300，图象经过点1150，0，则ω＝2πT＝100π，A＝300，∴I＝300sin(100πt＋φ)．∴0＝300sin100π×1150＋φ.∴sin2π3＋φ＝0.取φ＝π3，∴I＝300sin100πt＋π3.[答案]C4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acosπ6x－6(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，128月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.[解析]由题意可知A＝28－182＝5，a＝28＋182＝23.从而y＝5cosπ6x－6＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cosπ6×4＋23＝20.5.[答案]20.5课后作业(五十六)复习巩固一、选择题1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是()A.150B．50C.1100D．100[解析]T＝2π100π＝150.[答案]A2．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cosglt＋π3，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l等于()A.gπB.g2πC.gπ2D.g4π2[解析]T＝2πgl＝1，∴2π＝gl，∴l＝g4π2，故选D.[答案]D3．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：x123y100009500？则此楼盘在第三季度的平均单价大约是()A．10000元B．9500元C．9000元D．8500元9[解析]因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，所以ω可取3π2，φ可取π，即y＝500sin3π2x＋π＋9500，当x＝3时，y＝9000.[答案]C4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋bA0，ω0，|φ|π2的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A．f(x)＝2sinπ4x－π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)B．f(x)＝9sinπ4x－π4(1≤x≤12，x∈N*)C．f(x)＝22sinπ4x＋7(1≤x≤12，x∈N*)D．f(x)＝2sinπ4x＋π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)[解析]令x＝3可排除D，令x＝7可排除B，由A＝9－52＝2可排除C；或由题意，可得A＝9－52＝2，b＝7，周期T＝2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π4.∴f(x)＝2sinπ4x＋φ＋7.∵当x＝3时，y＝9，∴2sin3π4＋φ＋7＝9，即sin3π4＋φ＝1.∵|φ|π2，∴φ＝－π4.∴f(x)＝2sinπ4x－π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)．[答案]A5．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是()10A．该质点的振动周期为0.7sB．该质点的振幅为－5cmC．该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时的加速度为零[解析]该质点的振动周期为T＝2×(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A是错误的；该质点的振幅为5cm，故B是错误的；该质点在0.1s和0.5s时的振动速度是零，所以C是错误的．故选D.[答案]D二、填空题6．如图某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________m.[解析]由题图可知－3＋k＝2，k＝5，y＝3sinπ6x＋φ＋5，∴ymax＝3＋5＝8.[答案]87．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．11[解析]过O作水平线的垂线，垂足为Q，由已知可得：OQ＝3，OP＝6，则cos∠POQ＝12，即∠POQ＝60°，则水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，即13个周期，又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，故用时为15×13＝5秒．[答案]58．如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(