（全国通用）2020版高考数学二轮复习 第三层备考篇 专题三 9大知识板块系统整理保温讲义

19大知识板块系统整理保温板块(一)集合与常用逻辑用语(一)巧用解题结论，考场快速抢分1.集合运算的重要结论(1)A∩B⊆A，A∩B⊆B；A＝A∩A，A⊆A∪B，B⊆A∪B；A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)若A⊆B，则A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，则A⊆B.若A⊆B，则A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，则A⊆B.(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.2.全称命题、特称命题真假的判断(1)全称命题真假的判断①要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，必须使p(x)对集合M中的每一个元素x都成立；②要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例，即在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题.(2)特称命题真假的判断①要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需要找到集合M中的一个元素x0，使p(x0)成立即可；②要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是假命题，需验证p(x)对集合M中的每一个元素x都不成立.3.充分条件与必要条件的重要结论(1)如果p⇒q，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件.(2)如果p⇒q，且q⇒p，那么p是q的充要条件.(3)如果p⇒q，但q⇒/p，那么p是q的充分不必要条件.(4)如果q⇒p，且p⇒/q，那么p是q的必要不充分条件.(5)如果p⇒/q，且q⇒/p，那么p是q的既不充分也不必要条件.(二)明辨易错易混，谨防无谓失分1.遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况.2.“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论.3.要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而2“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.(三)演练经典小题，做好考前热身1.已知集合A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|(x－1)(3－x)＞0}，则A∩(∁RB)＝()A.(－2，3)B.(－2，1)C.(－2，1]D.(1，2)解析：选C由题意知，B＝{x|1＜x＜3}，∁RB＝{x|x≤1或x≥3}，则A∩(∁RB)＝(－2，1].故选C.2.设x∈R，则“|x－1|＜1”是“x2＋x＞0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A|x－1|＜1⇔－1＜x－1＜1⇔0＜x＜2，x2＋x＞0⇔x＜－1或x＞0，所以“|x－1|＜1”是“x2＋x＞0”的充分而不必要条件.故选A.3.已知全集U＝{x∈Z|(x－1)(5－x)≥0}，集合A＝{1，2，5}，B＝{2，4}，则图中阴影部分所表示的集合为()A.{2}B.{1，3，4，5}C.{1，2，3，4，5}D.(－∞，1]∪[5，＋∞)解析：选B因为U＝{x∈Z|(x－1)(5－x)≥0}，所以U＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}＝{x∈Z|1≤x≤5}＝{1，2，3，4，5}.因为A＝{1，2，5}，B＝{2，4}，所以A∩B＝{2}，由题图可知，阴影部分所表示的集合为∁U(A∩B)＝{1，3，4，5}.故选B.4.已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{x|y＝lgx－3}，则下列命题中真命题的个数是()①∃m0∈A，m0∉B；②∃m0∈B，m0∉A；③∀m∈A，m∈B；④∀m∈B，m∈A.A.4B.3C.2D.1解析：选C因为A＝{y|y＝x2＋2}，所以A＝{y|y≥2}，因为B＝{x|y＝lgx－3}，所以B＝{x|x＞3}，所以B是A的真子集，所以①④为真命题，②③为假命题，所以真命题的个数是2.故选C.板块(二)函数与导数(一)巧用解题结论，考场快速抢分1.基本导数公式3(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ax)′＝axlna(a0且a≠1)；(ex)′＝ex；(logax)′＝1xlna(a0且a≠1)；(lnx)′＝1x.2.函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)则为增(减)函数.(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.(3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数.(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)＝0.3.抽象函数的周期性与对称性的结论(1)函数的周期性①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，T＝2|a|；②若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，T＝2|a|；③若满足f(x＋a)＝1f（x），则f(x)是周期函数，T＝2|a|.(2)函数图象的对称性①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称；②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称；③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称.4.函数图象平移变换的相关结论(1)把y＝f(x)的图象沿x轴左右平移|c|个单位(c＞0时向左移，c＜0时向右移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数).(2)把y＝f(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b＞0时向上移，b＜0时向下移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数).5.函数图象伸缩变换的相关结论(1)把y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a＞1)或缩短(0＜a＜1)到原来的a倍，而横4坐标不变，得到函数y＝af(x)(a＞0)的图象.(2)把y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长(0＜b＜1)或缩短(b＞1)到原来的1b倍，而纵坐标不变，得到函数y＝f(bx)(b＞0)的图象.6.常见的含有导函数的几种不等式构造原函数类型(1)原函数是函数的和、差组合①对于f′(x)＞g′(x)，构造函数h(x)＝f(x)－g(x)；②对于f′(x)＋g′(x)＞0，构造函数h(x)＝f(x)＋g(x).(2)原函数是函数的乘、除组合①对于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝f(x)g(x)；②对于f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝f（x）g（x）(g(x)≠0).特别地，对于xf′(x)＋f(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝xf(x)；对于xf′(x)－f(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝f（x）x.(3)原函数是ex的乘、除组合①对于f′(x)＋f(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝exf(x)；②对于f′(x)－f(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝f（x）ex.(二)明辨易错易混，谨防无谓失分1.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.2.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.3.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.4.不能准确理解导函数的几何意义，易忽视切点(x0，f(x0))既在切线上，又在函数图象上，而导致某些求导数的问题不能正确解出.5.易混淆函数的极值与最值的概念，错以为f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值的充分条件.(三)演练经典小题，做好考前热身1.已知函数f(x)＝2x＋1，x＜1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝a2＋1，则实数a＝()A.－1B.2C.3D.－1或35解析：选D由题意可知，f(0)＝2，而f(2)＝4＋2a，由于f(f(0))＝a2＋1，所以a2＋1＝4＋2a，所以a2－2a－3＝0，解得a＝－1或a＝3.故选D.2.(2019·湖南省湘东六校联考)函数y＝－x·2|x|的大致图象是()解析：选B由题意，令f(x)＝－x·2|x|，则f(－x)＝－(－x)·2|－x|＝x·2|x|＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，排除选项C、D，又x＞0时，f(x)＜0，排除选项A.故选B.3.(2019·合肥市第一次质检测)设a＝0.23，b＝log20.3，c＝log32，则()A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞a＞cD.c＞a＞b解析：选D因为log20.3＜log21＝0，0＜0.23＝153＜15＜12，log32＞log33＝12，所以c＞a＞b.故选D.4.已知函数f(x)＝（1－2a）x＋3a，x＜1，lnx，x≥1的值域为R，那么实数a的取值范围是()A.(－∞，－1]B.－1，12C.－1，12D.0，12解析：选C法一：当x≥1时，lnx≥0，要使函数f(x)＝（1－2a）x＋3a，x＜1，lnx，x≥1的值域为R，只需1－2a＞0，（1－2a）×1＋3a≥ln1，解得－1≤a＜12.故选C.法二：取a＝－1，则f(x)＝3x－3，x＜1，lnx，x≥1的值域为R，满足题意，故排除B、D；取a＝0，则f(x)＝x，x＜1，lnx，x≥1的值域为R，满足题意，故排除A.故选C.5.(2019·安徽省考试试题)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′(x)，g′(x)为其导函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0且g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是()6A.(－3，0)∪(3，＋∞)B.(－3，0)∪(0，3)C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪(0，3)解析：选D令h(x)＝f(x)·g(x)，当x＜0时，h′(x)＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0，则h(x)在(－∞，0)上单调递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h(x)为奇函数，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增.又由g(－3)＝0，可得h(－3)＝－h(3)＝0，所以不等式f(x)·g(x)＜0，可化为h(x)＜h(－3)，或h(x)＜h(3)，所以x＜－3或0＜x＜3时h(x)＜0.故选D.6.已知函数f(x)＝2x，x≤1，ln（x－1），1＜x≤2，若不等式f(x)≤5－mx恒成立，则实数m的取值范围是________.解析：作出函数f(x)的大致图象如图所示，令g(x)＝5－mx，则g(x)恒过点(0，5)，由f(x)≤g(x)恒成立，并数形结合得－52≤－m≤0，解得0≤m≤52.答案：0，52板块(三)不等式(一)巧用解题结论，考场快速抢分1.一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件是a＞0，Δ＜0.(2)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件是a＜0，Δ＜0.2.基本不等式的重要结论(1)a＋b2≥ab(a＞0，b＞0).(2)ab≤a＋b22(a，b∈R).(3)a2＋b22≥a＋b2≥ab(a＞0，b＞0).3.利用基本不等式求最值(1)对于正数x，y，若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2p.(2)对于正数x，y，若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值14s2.4.线性规划中的两个重要结论(1)点M(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0(B＞0)上方(