（新高考）2020版高考数学二轮复习 第一部分 思想方法 数学思想方法 第2讲 数形结合思想教学案

1第2讲数形结合思想思想方法·简明概述以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形为手段、数作为目的的解决数学问题的数学思想.借助于数的精确性、规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段、形作为目的的解决问题的数学思想．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.热点探究·考向调研调研一判断函数的图象【例1】(1)[2019·全国卷Ⅰ]函数f(x)＝sinx＋xcosx＋x2在[－π，π]的图象大致为()解析：∵f(－x)＝sin－x－xcos－x＋－x2＝－sinx＋xcosx＋x2＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A；∵f(π)＝sinπ＋πcosπ＋π2＝π－1＋π20，∴排除C；∵f(1)＝sin1＋1cos1＋1，且sin1cos1，∴f(1)1，∴排除B，故选D.答案：D(2)[2019·全国卷Ⅲ]函数y＝2x32x＋2－x在[－6,6]的图象大致为()2解析：∵f(x)＝2x32x＋2－x，∴f(－x)＝－2x32－x＋2x＝－f(x)，且x∈[－6,6]，y＝2x32x＋2－x为奇函数，排除C；当x0时，f(x)＝2x32x＋2－x0恒成立，排除D；又∵f(4)＝2×6424＋2－4＝12816＋116＝128×16257≈7.97，排除A，故选B.答案：B(3)[2019·浙江卷]在同一直角坐标系中，函数y＝1ax，y＝logax＋12(a0，且a≠1)的图象可能是()解析：若0a1，则y＝1ax是增函数，y＝logax＋12是减函数，且其图象过点12，0，结合选项可知，选项D可能成立；若a1，则y＝1ax是减函数，y＝logax＋12是增函数，结合选项可知，没有符合的图象，故选D.答案：D方法点睛函数图象的判断可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．3(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．调研二函数的零点与方程的根【例2】(1)[2019·浙江卷]设a，b∈R，f(x)＝x，x0，13x3－12a＋1x2＋ax，x≥0.若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则()A．a－1，b0B．a－1，b0C．a－1，b0D．a－1，b0解析：记g(x)＝f(x)－ax－b.当x0时，g(x)＝(1－a)x－b，最多有1个零点．当x≥0时，g(x)＝13x3－12(a＋1)x2－b，g′(x)＝x2－(a＋1)x＝x[x－(a＋1)]．若a＋1≤0，即a≤－1，则g′(x)≥0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)在[0，＋∞)上最多有1个零点，因此g(x)在R上最多有2个零点，不合题意，所以a－1.当x∈[0，a＋1)时，g′(x)0，g(x)单调递减；当x∈(a＋1，＋∞)时，g′(x)0，g(x)单调递增，所以当x≥0时，g(x)恰有2个零点，其图象如下：所以，使g(x)有3个零点的条件为b1－a0，a＋10，g0＝－b0，ga＋10，⇒b0，－1a1，b－16a＋1，所以b0，a－1故选C.答案：C(2)[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)解析：g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点等价于函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x0与h(x)＝－x－a的图象存在2个交点，如图．4当x＝0时，h(0)＝－a.由图象可知要满足y＝f(x)与h(x)的图象存在2个交点，需要－a≤1，即a≥－1，故选C.答案：C(3)[2019·山东四校联考]已知函数f(x)＝ex2x，x0，－x2－2x－3，x≤0.当a0时，f2(x)－2f(x)＋a＝0有4个不相等的实数根，则a的取值范围是()A．－15≤a－8B．－15≤a≤e－e24C．－15a－8D．－15≤a≤e24－e解析：令t＝f(x)，则方程f2(x)－2f(x)＋a＝0转化为t2－2t＋a＝0.设关于t的方程t2－2t＋a＝0的解为t＝t1，t＝t2，则方程f2(x)－2f(x)＋a＝0有4个不同的实数根等价于t＝f(x)的图象与直线t＝t1，t＝t2有4个交点，如图．由图可知，－3≤t1－2，t2e2.设g(t)＝t2－2t＋a，则g－3≥0，g－20，ge20，解得－15≤a－8，故选A.答案：A方法点睛已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数图象的交点个5数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象的直观性，写出满足的条件，进而求出参数的取值范围．调研三利用数形结合思想求解平面向量问题【例3】(1)[2019·北师大附中三模]设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则()A.AD→＝43AB→＋13AC→B.AD→＝43AB→－13AC→C.AD→＝13AB→－43AC→D.AD→＝－13AB→＋43AC→解析：如图所示，因为BC→＝3CD→，所以AD→＝AC→＋CD→＝AC→＋13BC→＝AC→＋13(BA→＋AC→)＝43AC→－13AB→，故选D.答案：D(2)[2019·山东四校联考]如图Rt△ABC中，∠ABC＝π2，AC＝2AB，∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D，设AB→＝a，AC→＝b，则向量AD→＝()A．a＋bB.12a＋bC．a＋12bD．a＋23b解析：设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC＝π2，AC＝2AB，6所以∠BAC＝π3，∠ACB＝π6，∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝π6，根据圆的性质BD＝CD＝AB.又因为在Rt△ABC中，AB＝12AC＝r＝OD，所以四边形ABDO为菱形，所以AD→＝AB→＋AO→＝a＋12b，故选C.答案：C(3)[2019·广东深圳模拟]已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF→·BC→的值为()A．－58B.118C.14D.18解析：由DE＝2EF，可得DE→＝2EF→，EF→＝12DE→，如图．连接AE，则AE⊥BC，所以BC→·AE→＝0，AF→·BC→＝(AE→＋EF→)·BC→＝BC→·AE→＋12DE→·BC→＝0＋12·|DE→|·|BC→|·cosπ3＝0＋12×12×1×12＝18，故选D.答案：D方法点睛利用数形结合思想，求解平面向量问题，要根据题意画出相应的平面图形，结合平面向量的几何运算求解，或建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算求解．调研四利用数形结合思想求解解析几何问题7【例4】(1)[2019·全国卷Ⅰ]已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1解析：由题意设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，连接F1A.令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝|AB|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝a2，则|AF2|＝a＝|AF1|，所以点A为椭圆的上顶点或下顶点，如图所示．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝1a.在等腰△ABF1中，cos2θ＝a23a2＝13，所以13＝1－21a2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，所以椭圆C的方程为x23＋y22＝1.故选B.答案：B(2)[2019·全国卷Ⅱ]设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.2B.3C．2D.5解析：如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为x－c22＋y2＝c24①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝a2c，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝a2c，所以|PQ|＝2a2－a2c2.由|PQ|＝|OF|，得2a2－a2c2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝2，故选A.8答案：A(3)[2019·北京卷]数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是()A．①B．②C．①②D．①②③解析：曲线的方程x2＋y2＝1＋|x|y可看成关于y的一元二次方程y2－|x|y＋x2－1＝0，由题图可知该方程必有两个不相等的实根，∴Δ＝|x|2－4(x2－1)0，∴x243，满足条件的整数x可取－1,0,1.当x＝－1时，y＝0或1，∴曲线C经过的整点有(－1,0)，(－1,1)；当x＝0时，y＝－1或1，∴曲线C经过的整点有(0，－1)，(0,1)；当x＝1时，y＝0或1，∴曲线C经过的整点有(1,0)，(1,1)．故曲线C恰好经过6个整点，①正确；∵x2＋y2＝1＋|x|y≤1＋x2＋y22，∴x2＋y2≤2，∴x2＋y2≤2，当且仅当|x|＝y，即x＝1，y＝1或x＝－1，y＝1时取等号，则曲线上的点到原点的最大距离为2，故②正确；顺次连接(－1,0)，(－1，1)，(0,1)，9(1,1)，(1,0)，(0，－1)，(－1,0)，所围成的区域如图中阴影部分所示，其面积为3，显然曲线C所围成的“心形”区域的面积要大于3，故③不正确，故选C.答案：C方法点睛解答解析几何问题，通常要画出图形，实现“数”与“形”的有机结合，这样使“数”更形象、更直观，充分利用图形的几何特征，挖掘题中所给的代数关系和几何关系，避免一些复杂的计算，给解题提供方便．