（全国通用）2020版高考数学二轮复习 第二层提升篇 专题六 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质讲

1第1讲函数的图象与性质[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019指数幂及对数值的大小比较·T3利用奇函数的性质求函数解析式·T6函数的奇偶性及单调性·T12函数图象的识别·T52018分段函数及函数的单调性、解不等式·T12函数图象的识辨·T3函数图象的识辨·T9抽象函数的奇偶性及周期性·T12函数的奇偶性及对数式运算·T162017函数图象的识辨·T8复合函数的定义域及单调性·T8函数图象的识辨·T7复合函数的单调性、对称性·T9函数的奇偶性、函数值的求解·T14分段函数、解不等式·T16(1)高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般.主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的判断及函数的奇偶性、周期性等.(2)此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.考点一函数的概念及其表示[例1](1)已知f(x)＝log3x，x＞0，ax＋b，x≤0(0＜a＜1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝()A.－2B.2C.3D.－3(2)已知函数f(x)＝（1－2a）x＋3a，x1，2x－1，x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是2________.[解析](1)由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，①f(－1)＝a－1＋b＝3，②联立①②，结合0＜a＜1，得a＝12，b＝1，所以f(x)＝log3x，x＞0，12x＋1，x≤0，则f(－3)＝12－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2，故选B.(2)当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，∵函数f(x)＝（1－2a）x＋3a，x1，2x－1，x≥1的值域为R，∴当x1时，y＝(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1]内的所有实数，则1－2a0，1－2a＋3a≥1，解得0≤a＜12.[答案](1)B(2)0，12[解题方略]1.函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可.2.分段函数问题的5种常见类型及解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提求参数“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程利用函数依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解3性质求值[跟踪训练]1.已知函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f12x＋8－2x的定义域为()A.[0，3]B.[0，2]C.[1，2]D.[1，3]解析：选A由题意，函数f(x)的定义域为[0，2]，即x∈[0，2]，因为函数g(x)＝f12x＋8－2x，所以0≤12x≤2，8－2x≥0，得0≤x≤3，即函数g(x)的定义域为[0，3]，故选A.2.函数f(x)＝2＋|x|－x2(－2＜x≤2)的值域为()A.(2.4)B.[2，4)C.[2，4]D.(2，4]解析：选B法一：因为f(x)＝2＋|x|－x2(－2＜x≤2)，所以f(x)＝2－x，－2＜x≤0，2，0＜x≤2.函数f(x)的图象如图所示，由图象得，函数f(x)的值域为[2，4).法二：因为f(x)＝2＋|x|－x2(－2＜x≤2)，当－2＜x≤0时，f(x)＝2－x，所以2≤f(x)＜4；当0＜x≤2时，f(x)＝2.综上，函数f(x)的值域为[2，4).3.已知具有性质：f1x＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f(x)＝x－1x；②f(x)＝x＋1x；③f(x)＝x，0＜x＜1，0，x＝1，－1x，x＞1.其中满足“倒负”变换的函数是()A.①②B.①③C.②③D.①解析：选B对于①，f(x)＝x－1x，f1x＝1x－x＝－f(x)，满足；对于②，f1x＝1x＋x4＝f(x)，不满足；对于③，f1x＝1x，0＜1x＜1，0，1x＝1，－x，1x＞1，即f1x＝1x，x＞1，0，x＝1，－x，0＜x＜1，故f1x＝－f(x)，满足.综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.考点二函数的图象及应用题型一函数图象的识别[例2](1)(2019·开封市定位考试)函数f(x)的大致图象如图所示，则函数f(x)的解析式可以是()A.f(x)＝x2·sin|x|B.f(x)＝x－1x·cos2xC.f(x)＝()ex－e－xcosπ2xD.f(x)＝xln|x||x|(2)(2019·福建五校第二次联考)函数f(x)＝x2＋ln(e－x)ln(e＋x)的图象大致为()[解析](1)由题中图象可知，在原点处没有图象，故函数的定义域为{}x|x≠0，故排5除选项A、C；又函数图象与x轴只有两个交点，f(x)＝x－1xcos2x中cos2x＝0有无数个根，故排除选项B，正确选项是D.(2)因为f(－x)＝(－x)2＋ln(e＋x)ln(e－x)＝x2＋ln(e－x)ln(e＋x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，据此可排除选项C()也可由f（0）＝1排除选项C.当x→e时，f(x)→－∞，据此可排除选项B、D.故选A.[答案](1)D(2)A[解题方略]寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法知式选图①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置②从函数的单调性，判断图象的变化趋势③从函数的奇偶性，判断图象的对称性④从函数的周期性，判断图象的循环往复知图选式①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域②从图象的变化趋势，观察函数的单调性③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性④从图象的循环往复，观察函数的周期性题型二函数图象的应用[例3](1)函数f(x)＝ax2＋x－1，x＞2，ax－1，x≤2是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是()A.－14≤a＜0B.a≤－14C.－1≤a≤－14D.a≤－1(2)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝2－x，x≤0，1，x0，则满足f(x＋1)f(2x)的x的取值范围是()A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)6C.(－1，0)D.(－∞，0)[解析](1)因为f(x)＝ax2＋x－1，x＞2，ax－1，x≤2是R上的单调递减函数，所以其图象如图所示，则a＜0，－12a≤2，2a－1≥4a＋2－1，解得a≤－1，故选D.(2)∵f(x)＝2－x，x≤0，1，x0，∴函数f(x)的图象如图所示.结合图象知，要使f(x＋1)f(2x)，则需x＋10，2x0，2xx＋1或x＋1≥0，2x0，∴x0，故选D.[答案](1)D(2)D[解题方略]1.利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解.2.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：①从图7象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.[跟踪训练]1.已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝x2－2x，x≥0，－x2－2x，x＜0，作出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减.2.(2019·安徽五校联盟第二次质检)函数y＝x2＋12x的图象大致为()解析：选C因为函数y＝x2＋12x为奇函数，所以其图象关于原点对称，当x＞0时，y＝12x2＋1x2＝121＋1x2，所以函数y＝x2＋12x在(0，＋∞)上单调递减，所以排除选项B、D；又当x＝1时，y＝22＜1，所以排除选项A，故选C.3.已知函数f(x)＝2xx－1，则下列结论正确的是()A.函数f(x)的图象关于点(1，2)对称B.函数f(x)在(－∞，1)上是增函数C.函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴D.函数f(x)的图象关于直线x＝1对称解析：选A因为f(x)＝2xx－1＝2x－1＋2，所以函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，排除B；8画出函数f(x)的大致图象如图所示，结合图象排除C、D.因为f(x)＋f(2－x)＝2xx－1＋2（2－x）（2－x）－1＝2xx－1＋4－2x1－x＝4，所以函数f(x)的图象关于点(1，2)对称.考点三函数的性质及应用[例4](1)(2019·广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝x＋a，－1≤x0，|2－x|，0≤x1，其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝()A.0.5B.1.5C.2.5D.3.5(2)(2019·济南市模拟考试)已知函数f(x)＝cos2x－π2＋xx2＋1＋1，则f(x)的最大值与最小值的和为()A.0B.1C.2D.4[解析](1)由f(x＋1)＝f(x－1)，即有f(x＋2)＝f(x)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5，故选C.(2)由已知得f(x)＝sin2x＋xx2＋1＋1，因为y＝sin2x，y＝xx2＋1都为奇函数，所以不妨设f(x)在x＝a处取得最大值，则根据奇函数的对称性可知，f(x)在x＝－a处取得最小值，故f(a)＋f(－a)＝sin2a＋aa2＋1＋1＋sin(－2a)＋－aa2＋1＋1＝2.故选C.[答案](1)C(2)C[解题方略]函数3个性质及应用奇偶性具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上.尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)单调性可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性9周期性利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解[跟踪训练]1.(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A.y＝ln(1－x)B.y＝ln(2－x)C.y＝ln(1＋x)D.y＝ln(2＋x)解析：选B函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝a2对称，令a＝2可得与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图象.故选B.2.(2019·河北省九校第二次联考)已知函数f(x)＝x3＋2x＋sinx，若f(a)＋f(1－2a)0，则实数a的取值范围是()A.(1，＋∞)B.(－∞，1)C.13，＋∞D.－∞，13解析：选Bf(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又f′(x)＝3x2＋2＋cosx0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，∴由f(a)＋f(1－2a)0，得f(a)f(2a－1)，a2a－1，解得a1，故选B.3.函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1x2)，都有x2f(x1)x1f(x2)，记a