2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.1.1 任意角学案 新人教A版必修第一册

15．1.1任意角1．了解任意角的概念及角的分类．2．理解象限角的概念．3．理解终边相同的角的概念，并能熟练写出终边相同的角的集合表示．1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角α，射线OA，OP分别是角α的始边和终边．“角α”或“∠α”可以简记成“α”．(3)角的分类2(4)相等角与相反角①设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.③设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.④角的减法可以转化为角的加法．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．温馨提示：对终边相同的角的理解(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．(2)k·360°与α中间用“＋”连接，如k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．31．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°，这种说法是否正确？[答案]不正确．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转的，故它形成的角为－90°2．初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α，β是否相等？[答案]不相等．角α为逆时针方向形成的角，α为正角；角β为顺时针方向形成的角，β为负角3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当角的始边和终边确定后，这个角就确定了．()(2)－30°是第四象限角．()(3)钝角是第二象限的角．()(4)终边相同的角一定相等．()(5)第一象限的角是锐角．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×(5)×题型一任意角的概念【典例1】下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[思路导引]对角的概念的理解关键是弄清角的终边与始边及旋转方向和大小．[解析]终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．[答案]C4理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧：判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．[针对训练]1．若将钟表拨慢10分钟，则时针转了______度，分针转了________度．[解析]由题意可知，时针按逆时针方向转了10×360°12×60＝5°，分针按逆时针方向转了10×360°60＝60°.[答案]5°60°题型二终边相同的角的表示【典例2】已知角α＝2020°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ720°.[思路导引]解题关键是理解与角α终边相同的角的表示形式．[解](1)由2020°除以360°，得商为5，余数为220°.∴取k＝5，β＝220°，α＝5×360°＋220°.又β＝220°是第三象限角，∴α为第三象限角．(2)与2020°终边相同的角为k·360°＋2020°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2020°720°(k∈Z)，解得－6109180≤k－31118(k∈Z)．所以k＝－6，－5，－4.将k的值代入k·360°＋2020°中，得角θ的值为－140°，220°，580°.5(1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．(2)求终边落在直线上的角的集合的步骤①写出在0°～360°范围内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并的一定要合并，使结果简洁．[针对训练]2．如图所示，求终边落在直线y＝3x上的角的集合．[解]终边落在射线y＝3x(x0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝3x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边落在直线y＝3x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}.题型三象限角的判断【典例3】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[思路导引]作出图形，根据象限角的定义确定．[解]作出各角，其对应的终边如图所示．6(1)由图①可知－75°是第四象限角．(2)由图②可知855°是第二象限角．(3)由图③可知－510°是第三象限角．象限角的判断方法(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角；(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．[针对训练]3．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．[解析]由α是第二象限的角可得90°＋k·360°α180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)180°－α180°－(90°＋k·360°)(k∈Z)，即－k·360°180°－α90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．[答案]一题型四角αn，nα(n∈N*)所在象限的确定【典例4】若α是第二象限角，则α2是第几象限的角？[思路导引]已知角α是第几象限角，判断αn所在象限，主要方法是解不等式并对k进行分类讨论，考查角的终边位置．[解]∵α是第二象限角，7∴90°＋k·360°α180°＋k·360°(k∈Z)，∴45°＋k·180°α290°＋k·180°(k∈Z)．解法一：①当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°α290°＋n·360°(n∈Z)，即α2是第一象限角；②当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°α2270°＋n·360°(n∈Z)，即α2是第三象限角．故α2是第一或第三象限角．解法二：∵45°＋k·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k·180°(k∈Z)表示终边为y轴的角，∴45°＋k·180°α290°＋k·180°(k∈Z)表示如图中阴影部分图形．即α2是第一或第三象限角．[变式](1)若本例条件不变，求角2α的终边的位置．(2)若本例中的α改为第一象限角，则2α，α2分别是第几象限角？[解](1)∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°αk·360°＋180°(k∈Z)．∴k·720°＋180°2αk·720°＋360°(k∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．(2)因为α是第一象限角，所以k·360°α90°＋k·360°，k∈Z.所以2k·360°2α180°＋2k·360°，k∈Z.所以2α是第一或第二象限角，或是终边落在y轴的正半轴上的角．同理，k·180°α245°＋k·180°，k∈Z.8当k为偶数时，α2为第一象限角，当k为奇数时，α2为第三象限角．分角、倍角所在象限的判定思路(1)已知角α终边所在的象限，确定αn终边所在的象限用分类讨论法，要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论．(2)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．[针对训练]4．已知α是第一象限角，则角α3的终边可能落在________．(填写所有正确的序号)①第一象限②第二象限③第三象限④第四象限[解析]∵α是第一象限角，∴k·360°αk·360°＋90°，k∈Z，∴k3·360°α3k3·360°＋30°，k∈Z.当k＝3m，m∈Z时，m·360°α3m·360°＋30°，∴角α3的终边落在第一象限．当k＝3m＋1，m∈Z时，m·360°＋120°α3m·360°＋150°，∴角α3的终边落在第二象限．当k＝3m＋2，m∈Z时，m·360°＋240°α3m·360°＋270°，∴角α3的终边落在第三象限，故选①②③.[答案]①②③9课堂归纳小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法．3．已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的一个角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k·360°，得到所求.1．下列说法正确的是()A．三角形的内角一定是第一、二象限角B．钝角不一定是第二象限角C．终边与始边重合的角是零角D．钟表的时针旋转而成的角是负角[解析]A错，若一内角为90°，则不属于任何象限；B错，钝角一定是第二象限角；C错，若角的终边作了旋转，则不是零角；D对．[答案]D2．－215°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[解析]由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，故－215°也是第二象限角，选B.[答案]B3．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是()A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限[解析]由于k·360°＋180°αk·360°＋270°，k∈Z，得k2·360°＋90°α2k2·360°＋135°，k∈Z.当k为偶数时，α2为第二象限角；当k为奇数时，α2为第四象限角．10[答案]D4．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α360°，k∈Z)的形式是________．[解析]因为－885°÷360°＝－3…195°，且0°≤α360°，所以k＝－3，α＝195°，故－885°＝195°＋(－3)·360°.[答案]195°＋(－3)·360°5．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，(1)有几种终边不相同的角？(2)若－360°α360°，则集合中的α共有多少个？[解](1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种，分别是与45°、135°、－135°、－45°终边相同的角．(2)令－360°k·90°＋45°360°，得－92k72.又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴满足条件的角共有8个．课后作业(三十七)复习巩固一、选择题1．下列是第三象限角的是()A．－110°B．－210°C．80°D．－13°[解析]－110°是第三象限角，－210°是第二象限角，80°是第一象限角，－13°是第四象限角．故选A