（全国通用）2020版高考数学二轮复习 第二层提升篇 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线的方程与性质

1第2讲圆锥曲线的方程与性质[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019双曲线的渐近线与离心率的关系·T10抛物线和椭圆的焦点·T9双曲线的标准方程及几何性质·T10椭圆的定义及标准方程·T12圆、双曲线的标准方程和几何性质·T12椭圆的方程及性质·T152018椭圆的几何性质·T4双曲线的几何性质·T6双曲线的几何性质及点到直线的距离·T10椭圆的定义及几何性质·T112017双曲线的性质、三角形的面积公式·T5双曲线的几何性质·T5双曲线的标准方程、渐近线方程·T14(1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考内容，多以选择题的形式考查，常出现在第4～11题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程的求法，难度中等.(2)圆锥曲线与直线的综合问题多以解答题的形式考查，常出现在第20题的位置，一般难度较大.考点一圆锥曲线的定义及标准方程[例1](1)(2019·重庆市学业质量调研)已知抛物线y2＝－45x的准线l过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点F，且该双曲线的一条渐近线过点P(1，－2)，则该双曲线的方程为()A.x24－y2＝1B.x2－y24＝12C.x24－y22＝1D.x22－y24＝1(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1[解析](1)由题意知，抛物线y2＝－45x的准线l：x＝5，因为抛物线y2＝－45x的准线l过双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点F，所以F(5，0)，所以a2＋b2＝5，因为该双曲线的一条渐近线过点P(1，－2)，所以－2＝－ba，所以b＝2a，可得a＝1，b＝2，所以该双曲线的方程为x2－y24＝1，故选B.(2)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0).由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝32|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴点A是椭圆的短轴端点，如图.不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，AF2―→＝2F2B―→，得B32，b2.由点B在椭圆上，得94a2＋b24b2＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为x23＋y22＝1.故选B.[答案](1)B(2)B[解题方略]1.圆锥曲线的定义3(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).2.圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”.(1)定型.就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程.(2)计算.即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m0，n0且m≠n)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn0).[跟踪训练]1.(2019·陕西西安八校联考)如图，抛物线W：y2＝4x与圆C：(x－1)2＋y2＝25交于A，B两点.点P为劣弧AB︵上不同于A，B的一个动点且不在x轴上，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则△PQC的周长的取值范围是()A.(10，12)B.(12，14)C.(10，14)D.(9，11)解析：选A法一：(常规法)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意得，圆C：(x－1)2＋y2＝25的圆心为C(1，0)，半径为5.抛物线W的准线l：x＝－1，焦点为C(1，0).由抛物线的定义可得|QC|＝x2＋1，则△PQC的周长为|QC|＋|PQ|＋|PC|＝x2＋1＋(x1－x2)＋5＝6＋x1.由y2＝4x，（x－1）2＋y2＝25得A(4，4)，则x1∈(4，6)，所以6＋x1∈(10，12)，于是△PQC的周长的取值范围是(10，12).故选A.法二：(临界点法)平移直线PQ，当点A在直线PQ上时，属于临界状态，此时结合|CA|＝5可知△PQC的周长趋于2×5＝10；当直线PQ与x轴重合时，属于临界状态，此时结合圆心坐标(1，0)及圆的半径为5，可知△PQC的周长趋于2×(1＋5)＝12.综上可知，△PQC的周长的取值范围是(10，12).故选A.2.(2019·江西七校第一次联考)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P4在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.解析：化双曲线的方程为x22－y22＝1，则a＝b＝2，c＝2，因为|PF1|＝2|PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a＝22，解得|PF1|＝42，|PF2|＝22，根据余弦定理得cos∠F1PF2＝（22）2＋（42）2－162×22×42＝34.答案：343.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为________.解析：由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理得，|PF′|＝|FF′|2－|PF|2＝8，由椭圆的定义得，|PF|＋|PF′|＝2a＝14，解得a＝7，a2＝49，b2＝a2－c2＝24，所以椭圆C的方程为x249＋y224＝1.答案：x249＋y224＝1考点二圆锥曲线的几何性质[例2](1)(2019·天津高考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.5(2)已知F1，F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是()A.55，1B.22，1C.0，55D.0，22[解析](1)由已知易得，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1，所以|OF|5＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y＝±bax，不妨设点A－1，ba，B－1，－ba，所以|AB|＝2ba＝4|OF|＝4，所以ba＝2，即b＝2a，所以b2＝4a2.又双曲线方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝ca＝5.故选D.(2)∵F1，F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，∴F1(－c，0)，F2(c，0)，c2＝a2－b2.设点P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x－c，y)＝0，化简得x2＋y2＝c2.联立方程组x2＋y2＝c2，x2a2＋y2b2＝1，整理得，x2＝(2c2－a2)·a2c2≥0，解得e≥22.又0＜e＜1，∴22≤e＜1.[答案](1)D(2)B[解题方略]1.椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求ca的值.2.双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得.(2)用法：①可得ba或ab的值.②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.[跟踪训练]1.(2019·兰州市诊断考试)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的实轴长为4，离心率为3，则其虚轴长为()A.82B.42C.22D.463解析：选B由题意知2a＝4，所以a＝2.因为e＝ca＝3，所以c＝23，所以b＝c2－a2＝22，所以2b＝42，即该双曲线的虚轴长为42，故选B.62.(2019·福建省质量检查)已知双曲线C的中心在坐标原点，一个焦点(5，0)到渐近线的距离等于2，则C的渐近线方程为()A.y＝±12xB.y＝±23xC.y＝±32xD.y＝±2x解析：选D设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则由题意，得c＝5.双曲线C的渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay＝0，所以5bb2＋a2＝2，又c2＝a2＋b2＝5，所以b＝2，所以a＝c2－b2＝1，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，故选D.3.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8解析：选B设抛物线的方程为y2＝2px(p0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵|AB|＝42，|DE|＝25，抛物线的准线方程为x＝－p2，∴不妨设A4p，22，D－p2，5.∵点A4p，22，D－p2，5在圆x2＋y2＝r2上，∴16p2＋8＝r2，p24＋5＝r2，∴16p2＋8＝p24＋5，∴p＝4(负值舍去).∴C的焦点到准线的距离为4.考点三直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系[例3](1)已知直线x＝1过椭圆x24＋y2b2＝1的焦点，则直线y＝kx＋2与椭圆至多有一个交点的充要条件是()A.k∈－12，127B.k∈－∞，－12∪12，＋∞C.k∈－22，22D.k∈－∞，－22∪22，＋∞(2)若直线x－y＋m＝0与双曲线x2－y22＝1交于不同的点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值为()A.±2B.±2C.±1D.±3[解析](1)由题意可得4－b2＝1，即b2＝3，所以椭圆方程为x24＋y23＝1.由y＝kx＋2，x24＋y23＝1可得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0.由Δ＝(16k)2－16(3＋4k2)≤0，解得－12≤k≤12.故选A.(2)设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0).由x2－y22＝1，x－y＋m＝0得x2－2mx－m2－2＝0(Δ0)，∴x0＝x1＋x22＝m，y0＝x0＋m＝2m，∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，∴m2＋(2m)2＝5，∴m＝±1.[答案](1)A(2)C[解题方略]1.直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其Δ0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到.2.直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切.8题型二直线与圆锥曲线的弦长[例4]已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，其左、右焦点F1，F2间的距离为4，过动点P的直线PF1和PF2与椭圆E的交点分别为A，B和C，D.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，若|AB|＋|CD|＝62，求k1k2的值.[解](1)由题意得ca＝22，a2＝b2＋c2，易知c＝2，所以a＝22，b＝c＝2.所以椭圆E的标准方程为x28＋y24＝1.(2)因为直线AB的斜率为k1，且直线AB过F1(－2，0)，所以直线AB的方程为y＝k1(x＋