2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.3.2 诱导公式五、六学案 新人教A版必

1第2课时诱导公式五、六1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、六的推导过程．2．运用公式五、六进行有关计算与证明．3．掌握六组诱导公式并能灵活运用．1．在△ABC中，角A2与角B＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？[答案]∵A＋B＋C＝π，∴A2＝π2－B＋C2，∴sinA2＝sinπ2－B＋C2＝cosB＋C2，cosA2＝cosπ2－B＋C2＝sinB＋C22．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)诱导公式五、六中的角α可以是任意角．()(2)sin(90°＋α)＝－cosα.()(3)sin3π2－α＝cosα.()2(4)若α＋β＝90°，则sinα＝cosβ.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√题型一利用诱导公式化简求值【典例1】(1)已知cosπ2＋α＝－35，且α是第二象限角，则sinα－3π2的结果是()A.45B．－45C．±45D.35(2)化简：sin2π＋αcosπ－αcosπ2－αcos7π2－αcosπ－αsin3π－αsin－π＋αsin5π2＋α＝________.[思路导引]利用诱导公式先化简再求值．[解析](1)∵cosπ2＋α＝－sinα＝－35∴sinα＝35，且α是第二象限角∴cosα＝－1－sin2α＝－45.而sinα－3π2＝－sin3π2－α＝－(－cosα)＝cosα＝－45(2)原式＝sinα·－cosα·sinα·cos3π2－α－cosα·sinα·[－sinπ－α]sinπ2＋α＝sinα·－sinα－sinα·cosα＝tanα[答案](1)B(2)tanα用诱导公式进行化简时的注意点(1)化简后项数尽可能的少．(2)函数的种类尽可能的少．(3)分母不含三角函数的符号．3(4)能求值的一定要求值．(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．[针对训练]1．已知cosθ＝－35，则sinθ＋π2＝________.[解析]sinθ＋π2＝cosθ＝－35.[答案]－352．化简：cosα－πsinπ－α·sinα－π2cosπ2＋α.[解]原式＝cos[－π－α]sinα·sin－π2－α(－sinα)＝cosπ－αsinα·－sinπ2－α(－sinα)＝－cosαsinα·(－cosα)(－sinα)＝－cos2α.题型二利用诱导公式证明三角恒等式【典例2】求证：tan2π－αcos3π2－αcos6π－αsinα＋3π2cosα＋3π2＝－tanα.[思路导引]应先利用诱导公式化简较复杂的左边的式子，使其等于右边．[证明]左边＝tan2π－αcos3π2－αcos6π－αsinα＋3π2cosα＋3π2＝tan－α－sinαcosα－cosαsinα＝－tanαsinαcosαcosαsinα＝－tanα＝右边，所以原等式成立．三角式恒等证明的原则对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可4以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．[针对训练]3．求证：sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2sinθ－3π2cosθ＋π2－11－2sin2π＋θ.[证明]右边＝－2sin3π2－θ·－sinθ－11－2sin2θ＝2sinπ＋π2－θsinθ－11－2sin2θ＝－2sinπ2－θsinθ－11－2sin2θ＝－2cosθsinθ－1cos2θ＋sin2θ－2sin2θ＝sinθ＋cosθ2sin2θ－cos2θ＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝左边，所以原等式成立.题型三诱导公式的综合应用【典例3】(1)已知cosπ6－α＝13，求cos56π＋α·sin2π3－α的值．(2)已知cosα＝－45，且α为第三象限角．求f(α)＝tanπ－α·sinπ－α·sinπ2－αcosπ＋α的值．[思路导引](1)π6－α＋5π6＋α＝π；2π3－α＝π－π3＋α；π3＋α＋π6－α＝π2.可利用以上互余、互补关系求解；(2)利用诱导公式化简求值．[解](1)cos56π＋α·sin2π3－α＝cosπ－π6－α·sinπ－π3＋α＝－cosπ6－α·sinπ3＋α5＝－cosπ6－α·sinπ2－π6－α＝－cosπ6－α·cosπ6－α＝－13×13＝－19.(2)因为cosα＝－45，且α为第三象限角，所以sinα＝－1－cos2α＝－1－－452＝－35.所以f(α)＝－tanα·sinα·cosα－cosα＝tanαsinα＝sinαcosα·sinα＝－35－45×－35＝－920.(1)整体代换，寻找角之间的关系：对于一些给值(式)求值问题，要注意已知角与未知角的关系，即发现它们之间是否满足互余或互补，若满足，则可以进行整体代换，用诱导公式求解．①常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补关系有：π3＋α与23π－α；π4＋α与34π－α等．(2)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(3)对于π±α和π2±α这两组诱导公式，切记运用前一组公式不变名，而运用后一组公式必须变名．[针对训练]4．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是()A.13B.236C．－13D．－23[解析]sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23.故选D.[答案]D5．已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αcos－α＋3π2cosπ2－αsin－π－α.(1)化简f(α)；(2)若α为第三象限角，且cosα－3π2＝15，求f(α)的值；(3)若α＝－31π3，求f(α)的值．[解](1)f(α)＝sinαcosα－sinαsinα[－sinπ＋α]＝cosα－sinαsinα＝－cosα(2)∵cosα－3π2＝－sinα＝15，∴sinα＝－15，又∵α为第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－265，∴f(α)＝265.(3)f－31π3＝－cos－31π3＝－cos－6×2π＋5π3＝－cos5π3＝－cosπ3＝－12.课堂归纳小结1．诱导公式五、六反映的是角π2±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．2．诱导公式一～六可归纳为k·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”7(1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的.(2)“奇”、“偶”是对诱导公式k·π2±α中的整数k来讲的．(3)“象限”指k·π2±α中，将α看成锐角时，k·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号.1．sin165°等于()A．－sin15°B．cos15°C．sin75°D．cos75°[解析]∵sin165°＝sin(90°＋75°)＝cos75°.∴选D.[答案]D2．已知sin5π2＋α＝15，那么cosα＝()A．－25B．－15C.15D.25[解析]sin5π2＋α＝sin2π＋π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα＝15.[答案]C3．如果cos(π＋A)＝－12，那么sinπ2＋A＝()A．－12B.12C．－32D.32[解析]∵cos(π＋A)＝－cosA＝－12，∴cosA＝12，∴sinπ2＋A＝cosA＝12，故选B.[答案]B4．已知sinα＋π4＝13，则cosπ4－α的值为()A.223B．－223C.13D．－138[解析]∵cosπ4－α＝cosπ2－π4＋α＝sinπ4＋α＝13.∴选C.[答案]C5．已知tanθ＝2，求sinπ2＋θ－cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ的值．[解]sinπ2＋θ－cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝cosθ－－cosθcosθ－sinθ＝2cosθcosθ－sinθ＝21－tanθ＝21－2＝－2.课后作业(四十二)复习巩固一、选择题1．下列各式中，不正确的是()A．sin(180°－α)＝sinαB．cos180°＋α2＝sinα2C．cos3π2－α＝－sinαD．tan(－α)＝－tanα[解析]由诱导公式知A、D正确．cos32π－α＝cosπ＋π2－α＝－cosπ2－α＝－sinα，故C正确．cos180°＋α2＝cos90°＋α2＝－sinα2，故B不正确．[答案]B2．若sinπ2＋θ0，且cosπ2－θ0，则θ是()A．第一象限角B．第二象限角9C．第三象限角D．第四象限角[解析]由于sinπ2＋θ＝cosθ0，cosπ2－θ＝sinθ0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.[答案]B3．若sin(3π＋α)＝－12，则cos7π2－α等于()A．－12B.12C.32D．－32[解析]因为sin(3π＋α)＝－sinα＝－12，所以sinα＝12，所以cos7π2－α＝cos3π2－α＝－cosπ2－α＝－sinα＝－12.[答案]A4．已知cos31°＝m，则sin239°tan149°的值是()A.1－m2mB.1－m2C．－1－m2mD．－1－m2[解析]sin239°tan149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin59°(－tan31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－cos231°＝1－m2.[答案]B5.sin2π－α·cosπ3＋2αcosπ－αtanα－3πsinπ2＋αsin7π6－2α等于()A．－cosαB．cosαC．sinαD．－sinα[解析]原式＝sin－α·cosπ3＋2α·－cosαtanα·cosα·sin32π－π3＋2α10＝sinαcosα·cosπ3＋2αtanαcosα－cosπ3＋2α＝－cosα.故选A.[答案]A二、填空题6．化简sin400°sin－230°cos850°tan－50°的结果为________．[解析]sin400°