2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5.1.4 二倍角的正弦、余弦、正切公式

1第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式1．理解二倍角公式的推导．2．掌握二倍角公式及变形公式，并能用这些公式解决相关问题．二倍角公式温馨提示：二倍角的“广义理解”二倍角是相对的，如4α是2α的二倍，α是α2的二倍等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．()(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．()(3)对任意角α，总有tan2α＝2tanα1－tan2α.()(4)cos2α－sin2α＝1－2sin2α.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√题型一给角求值2【典例1】求下列各式的值：(1)sinπ12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan150°1－tan2150°；(4)cos20°cos40°cos80°.[思路导引](1)逆用正弦的二倍角公式求解；(2)逆用二倍角余弦公式求解；(3)逆用二倍角正切公式求解；(4)需分子分母同乘2sin20°，凑正弦的二倍角公式求解．[解](1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.(4)原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.(1)记住公式的推导过程及公式特征以便于应用．(2)与公式不符，但是适当变形后就可套用公式的，要先变形化简再求值．[针对训练]1．求下列各式的值．(1)sinπ8sin3π8＝________；(2)12－cos215°＝________；3(3)1－tan215°tan15°＝________.[解析](1)∵sin3π8＝sinπ2－π8＝cosπ8，∴sinπ8sin3π8＝sinπ8cosπ8＝12·2sinπ8cosπ8＝12sinπ4＝24.(2)原式＝12(1－2cos215°)＝－12cos30°＝－34.(3)原式＝2tan30°＝23.[答案](1)24(2)－34(3)23题型二条件求值【典例2】已知cosα＋π4＝35，π2≤α3π2，求cos2α＋π4的值．[思路导引]由cosα＋π4的值，可求sinα＋π4，然后由二倍角公式，分别求出cos2α和sin2α，最后由两角和的余弦公式求解．[解]∵π2≤α3π2，∴3π4≤α＋π47π4.∵cosα＋π40，∴3π2α＋π47π4.∴sinα＋π4＝－1－cos2α＋π4＝－1－352＝－45.∴cos2α＝sin2α＋π2＝2sinα＋π4cosα＋π4＝2×－45×35＝－2425，sin2α＝－cos2α＋π2＝1－2cos2α＋π4＝1－2×352＝725.∴cos2α＋π4＝22cos2α－22sin2α4＝22×－2425－725＝－31250.[变式]若本例条件不变，求cos2αsinπ4＋α的值．[解]原式＝cos2α－sin2αsinπ4cosα＋cosπ4sinα＝2(cosα－sinα)＝2cosα＋π4＝65.解决条件求值问题的方法解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．[针对训练]2．已知tanαtanα＋π4＝－23，则sin2α＋π4的值是________．[解析]由tanαtanα＋π4＝tanαtanα＋11－tanα＝tanα1－tanαtanα＋1＝－23，得3tan2α－5tanα－2＝0，解得tanα＝2，或tanα＝－13.sin2α＋π4＝sin2αcosπ4＋cos2αsinπ4＝22(sin2α＋cos2α)＝222sinαcosα＋cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝222tanα＋1－tan2αtan2α＋1，当tanα＝2时，上式＝22×2×2＋1－2222＋1＝210；5当tanα＝－13时，上式＝22×2×－13＋1－－132－132＋1＝210.综上，sin2α＋π4＝210.[答案]210题型三化简问题【典例3】化简2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α.[思路导引]切化弦，统一角．[解]解法一：原式＝2cos2α－12·sinπ4－αcosπ4－αsin2π4＋α＝2cos2α－12·sinπ4－αcosπ4－αcos2π4－α＝2cos2α－1sinπ2－2α＝cos2αcos2α＝1.解法二：原式＝cos2α2·1－tanα1＋tanα22sinα＋22cosα2＝cos2αcosα－sinαcosα＋sinαsinα＋cosα2＝cos2αcosα－sinαcosα＋sinα＝cos2αcos2α－sin2α＝1.化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角．(2)降幂或升幂．6(3)一个重要结论：(sinθ±cosθ)2＝1±sin2θ.[针对训练]3．化简：(1)1＋sin20°＋1－sin20°；(2)1＋sin4α＋cos4α1＋sin4α－cos4α.[解](1)原式＝sin210°＋cos210°＋2sin10°cos10°＋sin210°＋cos210°－2sin10°cos10°＝sin10°＋cos10°2＋sin10°－cos10°2＝|sin10°＋cos10°|＋|sin10°－cos10°|＝sin10°＋cos10°＋cos10°－sin10°＝2cos10°.(2)原式＝1＋2sin2αcos2α＋2cos22α－11＋2sin2αcos2α＋2sin22α－1＝2cos22α＋2cos2αsin2α2sin22α＋2sin2αcos2α＝2cos2αcos2α＋sin2α2sin2αsin2α＋cos2α＝1tan2α.课堂归纳小结1．二倍角余弦公式的重要变形——升幂公式和降幂公式(1)升幂公式1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2.(2)降幂公式cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.2．要牢记二倍角公式的几种变形(1)sin2x＝cosπ2－2x＝cos2π4－x＝2cos2π4－x－1＝1－2sin2π4－x；(2)cos2x＝sinπ2－2x＝sin2π4－x7＝2sinπ4－xcosπ4－x；(3)cos2x＝sinπ2＋2x＝sin2π4＋x＝2sinπ4＋xcosπ4＋x.1．sin15°sin75°的值为()A.12B.14C.32D.34[解析]sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝12×2sin15°cos15°＝12sin30°＝14.[答案]B2．sin4π12－cos4π12等于()A．－12B．－32C.12D.32[解析]原式＝sin2π12＋cos2π12sin2π12－cos2π12＝－cos2π12－sin2π12＝－cosπ6＝－32[答案]B3.2sin2α1＋cos2α·cos2αcos2α等于()A．tan2αB．tanαC．1D.12[解析]原式＝4sinαcosα1＋2cos2α－1·cos2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α.[答案]A4．设α是第四象限角，已知sinα＝－35，则sin2α，cos2α和tan2α的值分别为()A．－2425，725，－247B.2425，725，247C．－2425，－725，247D.2425，－725，－2478[解析]因为α是第四象限角，且sinα＝－35，所以cosα＝45，所以sin2α＝2sinαcosα＝－2425，cos2α＝2cos2α－1＝725，tan2α＝sin2αcos2α＝－247.[答案]A5．已知cosx－π4＝210，则sin2x＝__________.[解析]∵cosx－π4＝210，∴sin2x－π4＝98100而sin2x＝cos2x－π2＝cos2x－π4－sin2x－π4＝2100－98100＝－96100＝－2425.[答案]－2425课后作业(五十一)复习巩固一、选择题1．已知α是第三象限角，cosα＝－513，则sin2α等于()A．－1213B.1213C．－120169D.120169[解析]∵cosα＝－513，α是第三象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－1213(舍正)因此，sin2α＝2sinαcosα＝2×－1213×－513＝120169.故选D.[答案]D2．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于()A.62B.32C.54D．1＋34[解析]原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°9＝1＋12sin30°＝1＋14＝54.[答案]C3．已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B.55C.33D.255[解析]∵2sin2α＝cos2α＋1，∴4sinα·cosα＝2cos2α.∵α∈0，π2，∴cosα0，sinα0，∴2sinα＝cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，sin2α＝15，又sinα0，∴sinα＝55，故选B.[答案]B4.1＋cos100°－1－cos100°＝()A．－2cos5°B．2cos5°C．－2sin5°D．2sin5°[解析]原式＝2cos250°－2sin250°＝2(cos50°－sin50°)＝222cos50°－22sin50°＝2sin(45°－50°)＝－2sin5°.[答案]C5．若cosπ4－α＝35，则sin2α等于()A.725B.15C．－15D．－725[解析]因为sin2α＝cosπ2－2α＝2cos2π4－α－1，又cosπ4－α＝35，所以sin2α＝2×925－1＝－725，故选D.[答案]D二、填空题6．若sinα－cosα＝13，则sin2α＝________.[解析](sinα－cosα)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1－sin2α＝132⇒sin2α10＝1－132＝89.[答案]897．化简：sin235°－12sin10°cos10°＝________.[解析]原式＝2sin235°－12sin10°cos10°＝－cos70°sin20°＝－cos70°sin90°－70°＝－1.[答