2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5.2.2 三角恒等变换的应用学案 新人

1第2课时三角恒等变换的应用题型一三角恒等变换与三角函数性质的综合【典例1】已知函数f(x)＝3sin2x－π6＋2sin2x－π12(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．[思路导引]先降幂，再用辅助角公式化为Asin(ωx＋φ)的形式，从而研究三角函数的性质．[解](1)∵f(x)＝3sin2x－π6＋2sin2x－π12＝3sin2x－π12＋1－cos2x－π12＝232sin2x－π12－12cos2x－π12＋1＝2sin2x－π12－π6＋1＝2sin2x－π3＋1，∴f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)当f(x)取得最大值时，sin2x－π3＝1，有2x－π3＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋5π12(k∈Z)，∴所求x的集合为x|x＝kπ＋5π12，k∈Z.(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．2[针对训练]1．已知函数f(x)＝23sin(x－3π)·sinx－π2＋2sin2x＋5π2－1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝65，x0∈π4，π2，求cos2x0的值．[解]f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6.(1)f(x)的最小正周期为π；最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x0)＝2sin2x0＋π6.又∵f(x0)＝65，∴sin2x0＋π6＝35.由x0∈π4，π2，得2x0＋π6∈2π3，7π6，∴cos2x0＋π6＝－1－sin22x0＋π6＝－45，cos2x0＝cos2x0＋π6－π6＝cos2x0＋π6cosπ6＋sin2x0＋π6sinπ6＝3－4310.题型二三角恒等变换在实际生活中的应用【典例2】有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？[思路导引]在△AOB中利用∠AOB表示OA，AB的长，然后表示出矩形面积：2OA·OB，从而得到面积与角间的函数关系，再通过求函数的最值得到面积的最值．[解]画出图象如右图所示，设∠AOB＝θθ∈0，π2，3则AB＝asinθ，OA＝acosθ.设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，即S＝2acosθ·asinθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ.∵θ∈0，π2，∴2θ∈(0，π)，当2θ＝π2，即θ＝π4时，Smax＝a2，此时，A，D距离O点都为22a.解决实际问题应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解．求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决．[针对训练]2.某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积(如右图)．4[解]连接OC，设∠COB＝θ，则0°θ45°，OC＝1.∵AB＝OB－OA＝cosθ－AD＝cosθ－sinθ，∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(cosθ－sinθ)·sinθ＝－sin2θ＋sinθcosθ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12＝22cos(2θ－45°)－12.当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，Smax＝2－12(m2)．∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m2.课堂归纳小结1．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中φ满足：(1)φ与点(a，b)同象限；(2)tanφ＝ba(或sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2)．2．研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考5点之一．对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如sinx±cosx＝2sinx±π4；sinx±3cosx＝2sinx±π3等.1．若函数f(x)＝sin2x－12(x∈R)，则f(x)是()A．最小正周期为π2的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数[解析]∵f(x)＝1－cos2x2－12＝－12cos2x∴最小正周期T＝2π2＝π，且为偶函数．[答案]D2．函数y＝12sin2x＋sin2x，x∈R的值域是()A.－12，32B.－32，12C.－22＋12，22＋12D.－22－12，22－12[解析]y＝12sin2x＋1－cos2x2＝22sin2x－π4＋12∈－22＋12，22＋12，故选C.[答案]C3．函数f(x)＝sinx(cosx－sinx)的最小正周期是()A.π4B.π2C．πD．2π[解析]由f(x)＝sinx(cosx－sinx)＝sinxcosx－sin2x＝12sin2x－1－cos2x2＝22sin2x＋π4－12，可得函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π，故选C.6[答案]C4．函数f(x)＝sinx－cosx，x∈0，π2的最小值为______．[解析]∵f(x)＝222sinx－22cosx＝2sinx－π4，∵x∈0，π2，∴x－π4∈－π4，π4，∴f(x)的最小值为2sin－π4＝－1[答案]－1课后作业(五十三)复习巩固一、选择题1．函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx在区间π4，π2上的最大值是()A．1B．2C.32D．3[解析]∵f(x)＝sin2x＋3sinxcosx＝1－cos2x2＋32sin2x＝sin2x－π6＋12.又x∈π4，π2，∴2x－π6∈π3，5π6，∴sin2x－π6∈12，1，∴sin2x－π6＋12∈1，32.即f(x)∈1，32.故f(x)在区间π4，π2上的最大值为32.故选C.[答案]C2．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是()7A.π6B.π3C.π2D.2π3[解析]f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)＝2sin2x＋π3＋θ.当θ＝23π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x是奇函数．[答案]D3．函数f(x)＝sinx－3cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是()A.－π，－5π6B.－5π6，－π6C.－π3，0D.－π6，0[解析]∵f(x)＝2sinx－π3，∴f(x)的单调递增区间为2kπ－π6，2kπ＋56π(k∈Z)．令k＝0得增区间为－π6，56π.∵x∈[－π，0]，∴f(x)的单调递增区间为－π6，0，故选D.[答案]D4．设函数f(x)＝3cos2ωx＋sinωxcosωx＋a(其中ω0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.则ω的值为()A．1B.12C.13D.14[解析]f(x)＝32cos2ωx＋12sin2ωx＋32＋a＝sin2ωx＋π3＋32＋a，依题意得2ω·π6＋π3＝π2，解之得ω＝12.[答案]B5．已知函数f(x)＝cos2x－1cos2x－π20x≤π3，则()A．函数f(x)的最大值为3，无最小值B．函数f(x)的最小值为－3，最大值为0C．函数f(x)的最大值为33，无最小值8D．函数f(x)的最小值为－3，无最大值[解析]因为f(x)＝cos2x－1cos2x－π2＝cos2x－1sin2x＝－2sin2x2sinxcosx＝－tanx，0x≤π3，所以函数f(x)的最小值为－3，无最大值，故选D.[答案]D二、填空题6．函数f(x)＝sin2x－π4－22sin2x的最小正周期是________．[解析]f(x)＝22sin2x－22cos2x－2(1－cos2x)＝22sin2x＋22cos2x－2＝sin2x＋π4－2，所以T＝2π2＝π.[答案]π7．在△ABC中，若3cos2A－B2＋5sin2A＋B2＝4，则tanAtanB＝________.[解析]因为3cos2A－B2＋5sin2A＋B2＝4，所以32cos(A－B)－52cos(A＋B)＝0，所以32cosAcosB＋32sinAsinB－52cosAcosB＋52sinAsinB＝0，即cosAcosB＝4sinAsinB，所以tanAtanB＝14.[答案]148．f(x)＝sin2x＋32π－3cosx的最小值为________．[解析]f(x)＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1＝－2cosx＋342－18∵－1≤cosx≤1，∴当cosx＝1时，f(x)min＝－4.[答案]－4三、解答题99．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈π2，π，且f(α)＝22，求α的值．[解](1)∵f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x＝cos2xsin2x＋12cos4x＝12(sin4x＋cos4x)＝22sin4x＋π4，∴f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)∵f(α)＝22，∴sin4α＋π4＝1，∵α∈π2，π，∴4α＋π4∈9π4，17π4.∴4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.10．已知f(x)＝5sinxcosx－53cos2x＋523(x∈R)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)的对称轴、对称中心．[解]f(x)＝52sin2x－53×1＋cos2x2＋532＝52sin2x－532cos2x＝5sin2x－π3.(1)f(x)的单调递增区间是－π12＋kπ，512π＋kπ(k∈Z)．(2)对称轴方程是：x＝12kπ＋512π，(k∈Z)；对称中心为12kπ＋π6，0(k∈Z)．综合运用11．函数y＝cos2x－π12＋sin2x＋π12－1()10A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数[解析]y＝1＋cos2x－π62＋1－cos2x＋π62－1＝12cos2x－π6－cos2x＋π6＝12sin2x，是奇函数．故选A.[答案]A12．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2C2，则