2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5.1.2 两角和与差的正弦、余弦公式学

1第2课时两角和与差的正弦、余弦公式1．掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式．2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．1．两角和与差的余弦公式cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，简记为：C(α＋β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，简记为：C(α－β)温馨提示：(1)记忆口诀：“余余正正，符号异”；(2)α，β∈R.2．两角和与差的正弦公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，简记为：S(α＋β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，简记为：S(α－β)温馨提示：(1)公式中α，β∈R.记忆口诀：“正余余正，符号同”．(2)α，β∈R.1．由公式C(α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？[答案]可以．sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β＝cosπ2－α－β＝sinαcosβ＋cosαsinβ2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．()(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．()(4)把公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ中的β用－β代替，可以得到cos(α＋β)．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2题型一给角求值【典例1】求值：(1)cos75°；(2)sin47°－sin17°cos30°cos17°.[思路导引](1)将75°写成30°＋45°，再利用两角和的余弦公式求解；(2)观察题目中出现的角的关系，把47°写成17°＋30°，然后运用公式求值．[解](1)cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝32×22－12×22＝6－24.(2)原式＝sin17°＋30°－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°＝12.解决给角求值问题的方法对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，或化为正负相消的项并消项求值，将分子、分母形式进行约分求值．要善于逆用或变用公式．[针对训练]1．求值：(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(2)(tan10°－3)cos10°sin50°.[解](1)原式＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°)＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝12.(2)解法一：原式＝(tan10°－tan60°)cos10°sin50°＝sin10°cos10°－sin60°cos60°cos10°sin50°3＝sin－50°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－2.解法二：原式＝sin10°cos10°－3cos10°sin50°＝sin10°－3cos10°cos10°·cos10°sin50°＝212sin10°－32cos10°sin50°＝2sin10°－60°sin50°＝－2.题型二给值求值【典例2】已知π4α3π4，0βπ4，cosπ4＋α＝－35，sin3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．[思路导引]先确定π4＋α及3π4＋β的范围，再求出sinπ4＋α和cos3π4＋β的值，将α＋β用π4＋α与3π4＋β表示，最后代入公式求解．[解]∵π4α3π4，π2π4＋απ，∴sinπ4＋α＝1－cos2π4＋α＝45.∵0βπ4，3π43π4＋βπ，∴cos3π4＋β＝－1－sin23π4＋β＝－1213，∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sinπ4＋α＋3π4＋β＝－sinπ4＋αcos3π4＋β＋cosπ4＋α·sin3π4＋β＝－45×－1213＋－35×513＝6365.[变式]若本例条件不变，求cos(α－β)的值．[解]由典例的解法可知，sinπ4＋α＝45，cos3π4＋β＝－1213，4∴sinπ4＋α－3π4＋β＝sinπ4＋αcos3π4＋β－cosπ4＋αsin3π4＋β＝45×－1213－－35×513＝－3365.又sinπ4＋α－3π4＋β＝sinα－β－π2＝－cos(α－β)，从而cos(α－β)＝3365.给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．[针对训练]2．已知π2βα3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos2α与cos2β的值．[解]∵π2βα3π4，∴0α－βπ4，πα＋β3π2.∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1－－352＝－45.∴cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)5＝－45×1213－－35×513＝－3365，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213＋－35×513＝－6365.题型三给值求角【典例3】设α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，则α＋β的值为()A.3π4B.5π4C.7π4D.5π4或7π4[思路导引]由角α、β的范围及角α的正弦，可求角α的余弦，由角β的余弦，可求得角β的正弦，再利用两角和的余弦公式求角，注意α＋β角的范围．[解析]∵α，β为钝角，sinα＝55，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－552＝－255，由cosβ＝－31010，得sinβ＝1－cos2β＝1－－310102＝1010，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－255×－31010－55×1010＝22.又∵πα＋β2π，∴α＋β＝7π4.故选C.[答案]C(1)解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角，至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内．(2)选择求角的三角函数值的方法：6若角的取值范围是0，π2，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是－π2，π2，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数．[针对训练]3．已知：α∈0，π2，β∈－π2，0，且cos(α－β)＝35，sinβ＝－210，求角α的大小．[解]因为α∈0，π2，β∈－π2，0，所以α－β∈(0，π)．由cos(α－β)＝35，知sin(α－β)＝45.由sinβ＝－210，知cosβ＝7210.所以sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝45×7210＋35×－210＝22.又α∈0，π2，所以α＝π4.题型四辅助角公式【典例4】化简：(1)2(cosx－sinx)；(2)315sinx＋35cosx.[思路引导]将asinx＋bcosx化成a2＋b2sin(ωx＋φ)形式．[解](1)2(cosx－sinx)＝2×222cosx－22sinx＝2cosπ4cosx－sinπ4sinx＝2cosπ4＋x.(2)315sinx＋35cosx＝6532sinx＋12cosx＝65sinπ3sinx＋cosπ3cosx＝65cosx－π3.7辅助角公式及其运用(1)公式形式：公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα)＝a2＋b2cos(α－φ)，将形如asinα＋bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．[针对训练]4．函数f(x)＝sinx－cosx＋π6的值域为()A．[－2,2]B．[－3，3]C．[－1,1]D．[－32，32][解析]f(x)＝sinx－cosx＋π6＝sinx－32cosx＋12sinx＝32sinx－32cosx＝3sinx－π6，所以函数f(x)的值域为[－3，3]，故选B.[答案]B课堂归纳小结1．两角和与差公式的理解、记忆(1)公式间的逻辑关系Sα＋β←Cα＋β←Cα－β→Sα－β(2)公式的结构特征和符号规律对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号异”；对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．2．应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．8(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin90°，12＝cos60°，32＝sin60°等，再如：0，12，22，32等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.1．sin105°的值为()A.3＋22B.2＋12C.6－24D.2＋64[解析]sin105°＝sin(90°＋15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝6＋24.所以D选项是正确的．[答案]D2．sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为()A．－32B．－12C.12D.32[解析]原式＝sin45°cos15°＋cos(180°＋45°)sin15°＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝12[答案]C3．已知cos(π－α)＝13，sinπ2＋β＝23(其中α，β∈(0，π))，则sin(α＋β)的值为()A.42－59B.42＋59C.－42＋59D.－42－59[解析]由cos(π－α)＝13，sinπ2＋β＝23，9得cosα＝－13，cosβ＝23，因为α，β∈(0，π)，所以sinα＝223，sinβ＝53.所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋c