（全国通用）2020版高考数学二轮复习 第三层备考篇 专题一 解题常用8术系统归纳 第7讲 关注整体

1第7讲关注整体，设而不求方法概述设而不求是数学解题中的一种很有用的手段，采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果应用题型选择题、填空题、解答题中均有应用方法（一）整体代入，设而不求在解决某些涉及若干个量的求值问题时，要有目标意识，通过虚设的策略，整体转化的思想，绕开复杂的运算过程，可使问题迅速得到解决.[例1]已知等比数列{an}中，Sm＝16，S2m＝64，求S3m.[解]设公比为q，由于S2m≠2Sm，故q≠1，于是a1（1－qm）1－q＝16，①a1（1－q2m）1－q＝64，②②÷①得1＋qm＝4，则qm＝3，所以S3m＝a1（1－q3m）1－q＝a1（1－qm）1－q(1＋qm＋q2m)＝16×(1＋3＋32)＝208.方法（二）转化图形，设而不求有些代数问题，通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求，转化成几何问题求解.[例2]设a，b均为正数，且a＋b＝1，则2a＋1＋2b＋1的最大值为________.[解析]设u＝2a＋1，v＝2b＋1(u1，v1)，u＋v＝m，则u，v同时满足u＋v＝m，u2＋v2＝4，其中u＋v＝m表示直线，m为此直线在v轴上的截距.2u2＋v2＝4是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧，如图所示，显然直线与圆弧相切时，所对应的截距m的值最大.由图易得mmax＝22，即2a＋1＋2b＋1≤22.[答案]22方法（三）适当引参，设而不求恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知和欲求之间的联系得以明朗化，使问题能够得到解决.[例3]已知对任何满足(x－1)2＋y2＝1的实数x，y，不等式x＋y＋k≥0恒成立，求实数k的取值范围.[解]由题意设x＝1＋cosθ，y＝sinθ，则g(θ)＝x＋y＋k＝sinθ＋cosθ＋1＋k＝2sinθ＋π4＋1＋k≥－2＋1＋k.令－2＋1＋k≥0，得k≥2－1.即实数k的取值范围是[2－1，＋∞).方法（四）巧设坐标，设而不求在解析几何问题中，对于有关点的坐标采用设而不求的策略，能促使问题定向，简便化归，起到以简驭繁的解题效果.[例4]设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，求证：直线AC经过原点O.[证明]设A(2pt21，2pt1)，B(2pt22，2pt2)，则C－p2，2pt2.因为AB过焦点F，所以2pt1·2pt2＝－p2，得t1t2＝－14.又直线OC的斜率kOC＝2pt2－p2＝－4t2＝1t1，3直线OA的斜率kOA＝2pt12pt21＝1t1，则kOC＝kOA.故A，O，C三点共线，即直线AC经过原点O.方法（五）中介过渡，设而不求根据解题需要，可引入一个中间量作为中介，起到过渡作用，使问题得以解决.[例5]如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥体积分成相等的两部分，求圆锥母线与轴的夹角α的余弦值.[解]过点A作AM⊥SO，垂足为M，可知∠MAO＝∠AOB＝∠OSB＝α.设MA＝x，OB＝r，SO＝h，则有13πx2h＝12×13πr2h.化简可得xr2＝12.又因为cosα＝MAOA＝OAOB，即cosα＝xOA＝OAr.所以cos2α＝xOA·OAr＝xr.于是cos4α＝12，又α为锐角，所以cosα＝241­.方法（六）恒等变形，设而不求某些看似十分复杂的运算，经过巧妙转换，恒等变形，使运算对象发生转移，起到意想不到的效果.[例6]求cosπ17cos2π17cos3π17…cos8π17的值.[解]设M＝cosπ17cos2π17cos3π17…cos8π17，N＝sinπ17sin2π17sin3π17…sin8π17，则M·N＝sinπ17cosπ17·sin2π17cos2π17·…·sin8π17·cos8π17＝128sin2π17sin4π17·…·sin16π17＝128sinπ17sin2π17·…·sin8π174＝128·N.而N≠0，故M＝128＝1256.[应用体验]1.sin10°sin30°sin50°sin70°的值为________.解析：设A＝sin10°sin30°sin50°sin70°，B＝cos10°cos30°cos50°cos70°，则A·B＝116sin20°sin60°sin100°sin140°＝116cos70°cos30°cos10°cos50°＝116B，而B≠0，由此可得A＝116.答案：1162.一直线被两直线4x＋y＋6＝0，3x－5y－6＝0截得的线段中点恰好是坐标原点，则这条直线的方程为________.解析：设所求直线分别交直线4x＋y＋6＝0，3x－5y－6＝0于点M，N，设M(x0，y0)，则有4x0＋y0＋6＝0.①因为M，N关于原点对称，所以N(－x0，－y0)，从而－3x0＋5y0－6＝0.②由①＋②得x0＋6y0＝0.③显然M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，O(0，0)三点的坐标均适合方程③.故所求直线的方程为x＋6y＝0.答案：x＋6y＝03.已知椭圆x225＋y29＝1，F1，F2为焦点，点P为椭圆上一点，∠F1PF2＝π3，则S△F1PF2＝________.解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由椭圆定义得r1＋r2＝10.①由余弦定理得r21＋r22－2r1r2cosπ3＝64.②①2－②得，r1r2＝12，5所以S△F1PF2＝12r1r2sinπ3＝33.答案：334.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.解析：法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋p2，|BF|＝y2＋p2，|OF|＝p2，由|AF|＋|BF|＝y1＋p2＋y2＋p2＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.联立方程，得x2a2－y2b2＝1，x2＝2py⇒2pya2－y2b2＝1⇒y2b2－2pya2＋1＝0.由根与系数的关系得y1＋y2＝－－2pa21b2＝2pa2×b2＝2b2a2p.∴2b2a2p＝p⇒b2a2＝12⇒ba＝22，∴双曲线的渐近线方程为y＝±22x.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋p2，|BF|＝y2＋p2，|OF|＝p2，由|AF|＋|BF|＝y1＋p2＋y2＋p2＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.kAB＝y2－y1x2－x1＝x222p－x212px2－x1＝x2＋x12p.由x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，得kAB＝y2－y1x2－x1＝b2（x1＋x2）a2（y1＋y2）＝b2a2·x1＋x2p，则b2a2·x1＋x2p＝x2＋x12p，∴b2a2＝12⇒ba＝22，∴双曲线的渐近线方程为y＝±22x.答案：y＝±22x6