（全国通用）2020版高考数学二轮复习 第三层备考篇 专题一 解题常用8术系统归纳 第5讲 确定关系

1第5讲确定关系，待定系数方法概述待定系数法是确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的一种方法.其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等；待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否可用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解应用题型既有选择、填空题，也有解答题.分解因式、拆分分式、数列通项或求和、求函数式、求解析几何中曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解应用（一）求函数解析式[例1]某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，热饮温度y(℃)与时间t(min)近似满足的函数关系式为y＝80×12t－a10＋b(a，b为常数)，通常这种热饮在40℃时，口感最佳.某天室温为20℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示.那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为()A.35minB.30minC.25minD.20min[解析]由题图知，当0≤t≤5时，函数图象是一条线段，当t≥5时，函数图象是一条曲线，故当t≥5时，函数的解析式为y＝80×12t－a10＋b，将(5，100)和(15，60)代入解析式，有100＝80×125－a10＋b，60＝80×1215－a10＋b，得a＝5，b＝20.故函数的解析式为y＝80×12t－510＋20，t≥5.令y＝40，解得t＝25，所以最少需要的时间为25min.故选C.[答案]C应用（二）求曲线方程2[例2]已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π6，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程是()A.x23－y22＝1B.x23－y2＝1C.x26－y24＝1D.x212－y24＝1[解析]由题意可设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为π6，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝33x，即x－3y＝0，所以c1＋3＝2，解得c＝4，由ba＝33，16＝a2＋b2，解得a＝23，b＝2，所以双曲线的标准方程是x212－y24＝1.故选D.[答案]D应用（三）求数列通项或前n项和[例3]已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＝21，S5＝65，则Sn＝________.[解析]设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn.由已知可得A×32＋B×3＝21，A×52＋B×5＝65，化简得3A＋B＝7，5A＋B＝13，解得A＝3，B＝－2.所以Sn＝3n2－2n.[答案]3n2－2n[应用体验]1.二次不等式ax2＋bx＋20的解集是－12，13，则a＋b的值是()A.10B.－10C.14D.－14解析：选D由不等式的解集是－12，13，可知－12，13是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，3可得－ba＝－16，2a＝－16，解得a＝－12，b＝－2，所以a＋b＝－14.故选D.2.过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A.26B.8C.46D.10解析：选C设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则D＋3E＋F＋10＝0，4D＋2E＋F＋20＝0，D－7E＋F＋50＝0，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋26或y＝－2－26，∴M(0，－2＋26)，N(0，－2－26)或M(0，－2－26)，N(0，－2＋26)，∴|MN|＝46.故选C.3.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋θ)(A＞0，|θ|＜π)的部分图象如图所示，将函数y＝f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的解析式为()A.g(x)＝2sin2xB.g(x)＝2sin2x＋π8C.g(x)＝2sin2x＋π4D.g(x)＝2sin2x－π4解析：选D由图得A＝2，T＝7π8－－π8＝π，所以ω＝2πT＝2.因为x＝3π8－π82＝π8时，y＝2，所以2×π8＋θ＝π2＋2kπ(k∈Z)，所以θ＝π4＋2kπ(k∈Z)，因为|θ|＜π，所以θ＝π4，所以函数f(x)＝2sin2x＋π4.因为函数g(x)的图象由函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到，所以g(x)＝4fx－π4＝2sin2x－π4＋π4＝2sin2x－π4.故选D.4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f(x)＝(－x＋a＋1)log2(x＋2)＋x＋m，其中a，m是常数，且a＞0.若f(0)＋f(a)＝1，则f(m－3)＝()A.1B.－1C.6D.－6解析：选C由题意知f(0)＝a＋1＋m＝0，所以a＋m＝－1，又f(a)＝log2(a＋2)＋a＋m，f(0)＋f(a)＝1，所以log2(a＋2)－1＝1，所以log2(a＋2)＝2，解得a＝2，所以m＝－3.于是，当x≥0时，f(x)＝(3－x)log2(x＋2)＋x－3.故f(m－3)＝f(－6)＝－f(6)＝－(－3log28＋3)＝6.故选C.