（全国通用）2020版高考数学二轮复习 第三层备考篇 专题一 解题常用8术系统归纳 第2讲 解题常招

1第2讲解题常招，设参换元方法概述在解答数学问题时，我们常把某个代数式看成一个新的未知数，或将某些变元用另一参变量的表达式来替换，以便将所求的式子变形，优化思考对象，让原来不醒目的条件，或隐含的信息显露出来，促使问题的实质明朗化，使非标准型问题标准化，从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉，从中找出解题思路.这种通过换元改变式子形式来变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去考查、探究解题思路的做法，就是设参换元法，也就是我们常说的换元法应用题型此方法既适用选择题、填空题，也适用于解答题，多在研究方程、不等式、函数、三角、解析几何中广泛应用方法（一）三角换元[例1]已知x，y∈R，满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为__________.[解析]法一：由x2＋2xy＋4y2＝6，得2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤x2＋4y22，所以6－(x2＋4y2)≤x2＋4y22，所以x2＋4y2≥4，当且仅当x＝2y时，取等号.又因为(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，所以z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12，综上可得4≤x2＋4y2≤12.法二：已知x2＋2xy＋4y2＝6，即(x＋y)2＋(3y)2＝(6)2，故设x＋y＝6cosα，3y＝6sinα，即x＝6cosα－2sinα，y＝2sinα.则z＝x2＋4y2＝6－2xy＝6－2(6cosα－2sinα)·2sinα＝8－4sin2α＋π6.所以8－4≤z≤8＋4，即z的取值范围为[4，12].[答案][4，12]方法（二）整体换元2[例2]已知椭圆C的方程为x24＋y2＝1，且直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值.[解]圆O的圆心为坐标原点，半径r＝1，由直线l：y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0与圆O：x2＋y2＝1相切，得|m|1＋k2＝1，故有m2＝1＋k2.①由x24＋y2＝1，y＝kx＋m，消去y得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1.所以|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－8km4k2＋12－4×4m2－44k2＋1＝16（4k2－m2＋1）（4k2＋1）2.②将①代入②，得|x1－x2|2＝48k2（4k2＋1）2，故|x1－x2|＝43|k|4k2＋1.所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·43|k|4k2＋1＝43k2（k2＋1）4k2＋1.故△OMN的面积S＝12|MN|×1＝23k2（k2＋1）4k2＋1.令t＝4k2＋1(t≥1)，则k2＝t－14，代入上式，得S＝2·3×t－14t－14＋1t2＝32·（t－1）（t＋3）t2＝32·－1t2＋23t＋13＝32·－1t－132＋49，所以当t＝3，即4k2＋1＝3，解得k＝±22时，S取得最大值，且最大值为32×49＝1.[应用体验]31.椭圆x24＋y23＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积为________.解析：已知x24＋y23＝1，则F(－1，0).设A(2cosθ，3sinθ)，B(2cosθ，－3sinθ)，则|AF|＝|BF|＝（2cosθ＋1）2＋3sin2θ＝2＋cosθ，故△FAB的周长l＝2(2＋cosθ)＋23sinθ＝4＋4sinθ＋π6.当θ＝π3时，l取得最大值，此时△FAB的面积为S＝12(1＋2cosθ)·23sinθ＝3sinθ(1＋2cosθ)＝3.答案：32.不等式log2(2x－1)·log2(2x＋1－2)2的解集是________.解析：设log2(2x－1)＝y，则log2(2x＋1－2)＝1＋log2(2x－1)＝y＋1，故原不等式可化为y(y＋1)2，解得－2y1.所以－2log2(2x－1)1，解得log254xlog23，即x∈log254，log23.答案：log254，log233.y＝sinxcosx＋sinx＋cosx的最大值是________.解析：设sinx＋cosx＝t∈[－2，2]，则sinxcosx＝（sinx＋cosx）2－12＝t22－12，所以y＝t22＋t－12＝12(t＋1)2－1，当t＝2时，ymax＝12＋2.答案：12＋24.若过定点N(0，2)的直线l交椭圆x29＋y2＝1于不同的两点A，B，则|AB|的最大值为________.解析：当直线l的斜率不存在时，A(0，1)，B(0，－1)或A(0，－1)，B(0，1)，此时|AB|＝2.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，由y＝kx＋2，x29＋y2＝1消去y得，(1＋9k2)x2＋36kx＋27＝0，4由Δ＝(36k)2－108(1＋9k2)＞0得k2＞13.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1＋x2＝－36k1＋9k2，x1x2＝271＋9k2，|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·－36k1＋9k22－4·271＋9k2＝63（1＋k2）（3k2－1）1＋9k2，令1＋9k2＝t，则t＞4，|AB|＝63（1＋k2）（3k2－1）1＋9k2＝21＋4t－32t2＝2－32·1t2＋4·1t＋1，1t∈0，14，当1t＝116，即k＝±153时，有|AB|max＝322.综上，|AB|的最大值为322.答案：322