河北省衡水市衡水中学2020届高三数学上学期期中试题 理（含解析）

河北省衡水市衡水中学2020届高三数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题1.已知曲线cos3fxxxx在点0,0f处的切线与直线410axy垂直，则实数a的值为（）A.-4B.-1C.1D.4【答案】C【解析】【分析】先求出fx在点0,0f处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出a的值.【详解】由题意，cossin3fxxxx，0cos034f，则曲线fx在点0,0f处的切线斜率为4，由于切线与直线410axy垂直，则414a，解得1a.故选C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.2.已知各项不为0的等差数列na满足2578220aaa，数列nb是等比数列且77ba，则212bb等于（）A.49B.32C.94D.23【答案】C【解析】由题意可得：2225787777722222320aaaadaadaa，7730,2aa，则：222127794bbba.本题选择C选项.3.对于函数()fx，若存在区间[,]Amn使得{|(),}yyfxxAA则称函数()fx为“同域函数”，区间A为函数()fx的一个“同城区间”.给出下列四个函数：①()cos2fxx；②2()1fxx；③2()|1|fxx；④2()log(1)fxx.存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（）A.①②③B.①②C.②③D.①②④【答案】A【解析】①cos2fxx，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②21fxx，x∈[-1，0]时，f（x）∈[-1，0]，所以②存在同域区间；③21fxx，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④2log1fxx，判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为①②③．点睛：本题主要考查了对同域函数及同域区间的理解，涉及到二次函数、余弦函数的值域的求解，函数图像的相交等，属于难题.本题在判断邻域时，需要知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．4.设为两个非零向量,ab的夹角，已知对任意实数t，bta的最小值为1，下列说法正确的是（）A.若确定，则ar唯一确定B.若确定，则b唯一确定C.若ar确定，则唯一确定D.若b确定，则唯一确定【答案】B【解析】【分析】对式子bta平方转化成关于t的二次函数，再利用最小值为1，得到221cos1b，进而判断与b之间的关系．【详解】222222222cosbtabtabtaatabtb.因为min1bta，所以2222222244cos1cos14ababba.所以22sin1b，所以sin1b，即1sinb.所以确定，b唯一确定.故选B.【点睛】本题考查向量模的最值、数量积运算、向量夹角等知识，考查与二次函数进行交会，求解时不能被复杂的表达式搞晕，而是要抓住问题的本质，始终把22||,||ab看成实数．5.已知点,Pxy是直线224yx上一动点，PM与PN是圆22:11Cxy的两条切线，,MN为切点，则四边形PMCN的最小面积为()A.43B.23C.53D.56【答案】A【解析】【分析】利用当CP与直线224yx垂直时，PC取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出PC的最小值，然后利用勾股定理计算出PM、PN的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形PMCN面积的最小值．【详解】如下图所示：由切线的性质可知，CMPM，CNPN，且PCMPCN，2221PMPNPCCMPC，当PC取最小值时，PM、PN也取得最小值，显然当CP与直线224yx垂直时，PC取最小值，且该最小值为点0,1C到直线224yx的距离，即min221453221PC，此时，22minminmin541133PMPNPC，四边形PMCN面积的最小值为min11442212233PMCM，故选A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解切线长的最小值时，要抓住以下两点：（1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边；（2）切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值．6.已知函数()sin()(0,0,0)2fxAwxA的部分图象如图所示，则3()4f（）A.22B.12C.1D.22【答案】C【解析】【分析】根据图像最低点求得A，根据函数图像上两个特殊点求得,的值，由此求得函数fx解析式，进而求得3π4f的值.【详解】根据图像可知，函数图像最低点为7π,212，故2A，所以()2sin()fxx，将点7π0,3,,212代入fx解析式得2sin37π2sin212，解得2π3，故π2sin23fxx，所以3π3ππ2sin21443f，故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档题.7.已知函数1()4sincos2fxxx，若()()fxafxa恒成立，则实数a的最小正值为（）A.2B.C.2D.4【答案】D【解析】【分析】先化简f(x),分析出f(x)本身的最小正周期T，再根据()()fxafxa分析出用a表示f(x)的最小正周期，最后根据两者相等，求得a的最小正值．【详解】由1()4sincos2fxxx，则1()2sin22fxx，所以f(x)的最小正周期T=因为()()fxafxa，则',()(2)xxafxfxa‘，令则，，这f(x)的最小正周期T=4a,所以4a=，所以实数a的最小正值是4，故答案选D【点睛】本题主要考察带绝对值三角函数的的周期，同时要会通过函数满足的关系式，分析函数周期8.设nS为数列{}na的前n项和，11a，12nnaS，则数列1{}na的前20项和为（）A.1931223B.1971443C.1831223D.1871443【答案】D【解析】12nnaS，12nnaS相减得132nnaan由11a得出2212,3aaa21,123,2nnnan，1na=21,111,223nnn011812201111111......1......2333aaa191911113131111222313=1871443故选D点睛：已知数列的na与nS的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的.9.椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别是1F、2F，以2F为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线1PF恰好与圆2F相切于点P，则椭圆的离心率为（）A.312B.31C.22D.512【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义可知12||||2PFPFa，又1PF恰好与圆2F相切于点P，可知2||PFc且12PFPF，即可列出方程求椭圆的离心率.【详解】由1PF恰好与圆2F相切于点P，可知2||PFc，且12PFPF，又12||||2PFPFa，可知1||2PFac，在12RtPFF中，222(2)4accc，即2222aacc所以2220,(0,1)eee，解得212312e，故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题.10.已知函数()sin3cosfxaxx的图像的一条对称轴为直线56x，且12()()4fxfx，则12xx的最小值为()A.3B.0C.3D.23【答案】D【解析】【分析】运用辅助角公式，化简函数fx的解析式，由对称轴的方程，求得a的值，得出函数fx的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数2()sin3cos3sin()(fxaxxax为辅助角)，由于函数的对称轴的方程为56x，且53()622af，即23322aa，解得1a，所以()2sin()3fxx，又由12()()4fxfx，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6xkkZ，2222,6xkkZ，所以1212222,3xxkkkZ，当120kk时，12xx的最小值23，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11.若函数321()(3)3xfxexkxkx只有一个极值点，则k的取值范围为()A.(,)eB.(0,]eC.(,2)D.(0,2]【答案】B【解析】【分析】利用函数求导函数f′（x）＝ex（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（ex﹣kx），只有一个极值点时f′（x）＝0只有一个实数解，有ex﹣kx≥0，设新函数设u（x）＝ex，v（x）＝kx，等价转化数形结合法即可得出结论，【详解】解：函数f（x）＝ex（x﹣3）﹣13kx3+kx2只有一个极值点，f′（x）＝ex（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（ex﹣kx），若函数f（x）＝ex（x﹣3）﹣13kx3+kx2只有一个极值点，f′（x）＝0只有一个实数解，则：ex﹣kx≥0，从而得到：ex≥kx，当k＝0时，成立．当k≠0时，设u（x）＝ex，v（x）＝kx如图：当两函数相切时，k＝e，此时得到k的最大值，但k＜0时不成立．故k的取值范围为：（0，e]综上：k的取值范围为：[0，e]故选B．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合法，考查了推理能力，属于中档题．12.双曲线2222100xyabab＞，＞的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A.1143B.1353C.1663D.19103【答案】D【解析】【分析】设22BFm，根据2FAB是以A为直角顶点的直角三角形，且230AFB，以及双曲线的性质可得212(33),2(23)AFaAFa，再根据勾股定理求得,ac的关系式，即可求解.【详解】由题意，设22BFm，如图所示，因为2FAB是以A为直角顶点的直角三角形，且230AFB，由212AFAFa，所以132AFma，由212BFBFa，所以122BFma，所以11AFBFAB，即3222mamam，所以2(31)ma，所以232(31)2(33)AFaa，12(33)22(23)AFaaa，在直角12FAF中，222124AFAFc，即222224(33)4(23)4a