2019-2020学年新教材高中数学 单元素养评价（一）新人教A版必修2

-1-单元素养评价(一)(第六章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1.(2019·龙岩高二检测)在△ABC中，A=60°，B=75°，a=10，则c等于()A.5B.10C.D.5【解析】选C.因为A=60°，B=75°，所以C=180°-A-B=45°，所以由正弦定理知c===.【加练·固】△ABC的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知a=，c=2，cosA=，则b=()A.B.C.2D.3【解析】选D.由余弦定理得4+b2-2×2bcosA=5，整理得3b2-8b-3=0，解得b=3或b=-(舍)2.设x，y∈R，向量a=(x，1)，b=(1，y)，c=(2，-4)，且a⊥c，b∥c，则|a+b|=()A.B.C.2D.10【解析】选B.由a⊥c得a·c=2x-4=0，所以x=2，由b∥c得1×(-4)=2y，所以y=-2，-2-于是a=(2，1)，b=(1，-2)，a+b=(3，-1)，从而|a+b|=.【加练·固】已知向量=(1，1)，=(2，3)，则下列向量与垂直的是()A.a=(3，6)B.b=(8，-6)C.c=(6，8)D.d=(-6，3)【解析】选D.=-=(1，2)，(1，2)·(-6，3)=1×(-6)+2×3=0.3.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则=()A.+B.+C.+D.+【解析】选D.根据题意得：=(+)，又=+，=，所以=(++)=+.【加练·固】如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是边BE的中点，若=a，=b，则=()-3-A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b【解析】选D.=+=+=+(-)=+=+=a+b.4.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA=-，则=()A.6B.5C.4D.3【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2，由余弦定理推论可得-=cosA=，所以=-，所以=，所以=×4=6.【加练·固】在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶3，则cosB=()A.B.C.D.【解析】选A.由sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶3，结合正弦定理可得a∶b∶c=2∶3∶3，-4-故设a=2k，b=c=3k(k0)，所以cosB===，故cosB=.5.在△ABC中，D是边BC上一点，若AD⊥AC，sin∠BAC=，AD=3，AB=3，BD=()A.B.2C.2D.3【解析】选A.画出图象如图所示.由诱导公式得sin∠BAC=sin(∠BAD+)=cos∠BAD=，在三角形ABD中，由余弦定理得BD==.6.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请设法计算·=()A.10B.11C.12D.13【解析】选B.以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，1)，C(6，4)，=(4，1)，==(2，3)，所以·=4×2+1×3=11.-5-【加练·固】已知点A(7，1)，B(1，a)，若直线y=x与线段AB交于点C，且=2，则实数a=()A.4B.5C.-4D.-5【解析】选A.根据题意，设C(x，x)，由A(7，1)，B(1，a)，得=(x-7，x-1)，=(1-x，a-x).又=2，所以(x-7，x-1)=2(1-x，a-x)，所以解得x=3，a=4，所以实数a的值为4.7.已知点M，N满足||=||=3，且|+|=2，则M，N两点间的距离为()A.B.4C.6D.3【解析】选B.依题意，得|+|2=||2++2·=18+2·=20，则·=1，故M，N两点间的距离为||=|-|===4.8.(2019·海口高一检测)在△ABC中，A=60°，a=3，则△ABC的周长为()A.6sin(B+30°)+3B.4sin(B+30°)+3-6-C.6sin(B+60°)+3D.4sin(B+60°)+3【解析】选A.由正弦定理可得==，所以b=2sinB，c=2sinC，因为A+B+C=180°，A=60°，所以C=180°-A-B=120°-B，那么△ABC的周长：a+b+c=3+2sinB+2sin(120°-B)=3+2sinB+2=3+3sinB+3cosB=3+6sin(B+30°).9.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的D处测得水柱顶端A的仰角为45°，沿D向北偏东30°方向前进100m后到达C处，在C处测得水柱顶端A的仰角为30°，则水柱的高度是()A.50mB.100mC.120mD.150m【解析】选A.如图所示，AO⊥平面OCD，CD=100，∠ACO=30°，∠ADO=45°，∠ODC=60°.设OA=h，在Rt△OAD，则OD=h，同理可得：OC=h，在△OCD中，OC2=OD2+CD2-2OD·CD·cos60°，-7-所以(h)2=h2+1002-2×h×100×，化为：h2+50h-5000=0，解得h=50，因此水柱的高度是50m.10.如图，△ABC是边长为2的正三角形，P是以C为圆心，半径为1的圆上任意一点，则·的取值范围是()A.[1，13]B.(1，13)C.(4，10)D.[4，10]【解析】选A.取AB的中点D，连接CD，CP，则+=2，所以·=(-)·(-)=·-2·+1=(2)2cos-2×3×1×cos，+1=7-6cos，，所以当cos，=1时，·取得最小值为1；当cos，=-1时，·取得最大值为13，因此·的取值范围是[1，13].二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)11.已知向量a=(1，-2)，|b|=4|a|，a∥b，则b可能是()A.(4，-8)B.(8，4)C.(-4，-8)D.(-4，8)【解析】选AD.b=-4a时，b可能是(-4，8).b=4a时，b可能是(4，-8).12.在△ABC中，a=15，b=20，A=30°，则cosB=()-8-A.-B.C.-D.【解析】选AD.因为=，所以=，解得sinB=.因为ba，所以BA，故B有两解，所以cosB=±.13.已知△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=k∶(k+1)∶2k，则k的取值可以是()A.B.(2，+∞)C.(-∞，0)D.【解析】选BD.由正弦定理得：a=mk，b=m(k+1)，c=2mk，(m0)，因为即所以k.三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上)14.在△ABC中，a=3，b=2，cosC=，则△ABC的面积为________.【解析】因为cosC=，0Cπ，所以sinC=.所以S△ABC=absinC=×3×2×=4.-9-答案：415.已知向量a，b满足|b|=5，|a+b|=4，|a-b|=6，则向量a在向量b上的投影为________.【解析】设向量a，b的夹角为θ，则|a+b|2=|a|2+2|a||b|cosθ+|b|2=|a|2+10|a|cosθ+25=16，|a-b|2=|a|2-2|a||b|cosθ+|b|2=|a|2-10|a|cosθ+25=36，两式相减整理得|a|cosθ=-1，即向量a在向量b上的投影为|a|cosθ=-1.答案：-116.(2019·海口高一检测)在△ABC中，∠A=60°，且最大边与最小边是方程3x2-27x+32=0的两个实根，则△ABC的外接圆半径R外=________.【解析】易知，a既不是最大边，也不是最小边，不妨假设c为最大边，b为最小边，则，所以a2=b2+c2-2bccos60°=(b+c)2-3bc=49，所以a=7(a=-7舍去)，所以R外===.答案：【加练·固】(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=，b=2，A=60°，则sinB=________，c=________.【解析】由正弦定理=得=，得sinB=，cosA===，解得c=3.答案：317.在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||=，则·的取值范围为________.-10-【解析】不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，线段AC的方程为x+y-2=0(0≤x≤2).设M(a，2-a)，N(a+1，1-a)(由题意可知0a1)，所以=(a，2-a)，=(a+1，1-a)，所以·=a(a+1)+(2-a)(1-a)=2a2-2a+2=2+，因为0a1，所以由二次函数的知识可得·∈.答案：四、解答题(本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18.(12分)已知非零向量a，b满足|a|=1，且(a-b)·(a+b)=.(1)求|b|.(2)当a·b=时，求向量a与b的夹角θ的值.【解析】(1)因为(a-b)·(a+b)=，即a2-b2=.所以|b|2=|a|2-=1-=，故|b|=.-11-(2)因为cosθ==，又0°≤θ≤180°，故θ=45°.19.(14分)在平面直角坐标系xOy中，点A(-1，-2)，B(2，3)，C(-2，-1).(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长.(2)设实数t满足(-t)·=0，求t的值.【解析】(1)由题设知=(3，5)，=(-1，1)，则+=(2，6)，-=(4，4).所以|+|=2，|-|=4.故所求的两条对角线的长分别为2，4.(2)由题设知，=(-2，-1)，-t=(3+2t，5+t)，由(-t)·=0，得(3+2t，5+t)·(-2，-1)=0，从而5t=-11，所以t=-.20.(14分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(sinA，b+c)，n=(sinC-sinB，a-b)，且存在实数λ，使m=λn.求角C的大小.【解析】因为在△ABC中，向量m=(sinA，b+c)，n=(sinC-sinB，a-b)，且存在实数λ，使m=λn，所以m∥n，所以sinA(a-b)=(b+c)·(sinC-sinB)，利用正弦定理可得a(a-b)=(c+b)·(c-b)，化简可得a2+b2-c2=ab，所以cosC==，所以C=.21.(14分)已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.-12-(1)若△CDE的面积为，求DE的长.(2)若CF=4DF，求sin∠DFC.【解析】(1)依题意，得∠BCD=∠DAB=60°.因为△CDE的面积S=CD·CE·sin∠BCD=，所以×2CE·=，解得CE=1.在△CDE中，由余弦定理得DE===.(2)方法一：连接BD.依题意，得∠ACD=30°，∠BDC=60°，设∠CDE=θ，则0°θ60°.在△CDF中，由正弦定理得=，因为CF=4DF，所以sinθ==，所以cosθ=，所以sin∠DFC=sin(30°+θ)=×+×=.方法二：连接BD.依题意，得∠ACD=30°，∠BDC=60°，设∠CDE=θ，则0°θ60°，-13-设CF=4x，因为CF=4DF，则DF=x，在△CDF中，由余弦定理，得DF2=CD2+CF2-2CD·CFcos∠ACD，即7x2=4+16x2-8x，解得x=，或x=.又因为CF≤AC=，所以x≤，所以x=，所以DF=，在△CDF中，由正弦定理得=，所以sin∠DFC==.【加练·固】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.(1)求cosA.(2)若a